En analyse complexe, une fonction $f$ est holomorphe sur un domaine (un ouvert connexe) $U$ si elle est dérivable au sens complexe en chaque point de $U$. Le module d’un nombre complexe $z$, noté $|z|$, représente sa distance à l’origine dans le plan complexe.
Le principe du module maximum s’intéresse au comportement du module de la fonction, $|f(z)|$, sur le domaine $U$. Il établit une contrainte très forte sur l’endroit où ce module peut atteindre sa plus grande valeur.
Soit $f$ une fonction holomorphe et non constante sur un domaine $U$ borné du plan complexe. Alors, le module de $f$, $|f(z)|$, n’admet pas de maximum local à l’intérieur de $U$.
Plus précisément, si l’on considère la fonction $|f(z)|$ sur l’adhérence $\overline{U}$ (qui est un ensemble compact), son maximum est nécessairement atteint sur la frontière de $U$, notée $\partial U$. $$ \max_{z \in \overline{U}} |f(z)| = \max_{z \in \partial U} |f(z)| $$
Esquisse de la Démonstration
La démonstration est une conséquence directe de la formule intégrale de Cauchy.
- Hypothèse par l’absurde : Supposons que $|f(z)|$ atteigne un maximum local en un point $z_0$ à l’intérieur de $U$. Cela signifie qu’il existe un petit disque $D$ centré en $z_0$ et inclus dans $U$ tel que pour tout $z$ dans ce disque, $|f(z)| \le |f(z_0)|$.
- Formule de la moyenne de Cauchy : La formule intégrale de Cauchy a pour conséquence la formule de la moyenne, qui stipule que la valeur d’une fonction holomorphe en un point est égale à la moyenne de ses valeurs sur n’importe quel cercle centré en ce point. Pour un cercle $C_r$ de rayon $r$ centré en $z_0$ et contenu dans le disque $D$ : $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) \, d\theta $$
- Majoration : On prend le module de cette égalité : $$ |f(z_0)| = \left| \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) \, d\theta \right| \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + re^{i\theta})| \, d\theta $$ Par hypothèse, sur le cercle $C_r$, on a $|f(z_0 + re^{i\theta})| \le |f(z_0)|$. L’intégrale de droite est donc majorée par $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0)| \, d\theta = |f(z_0)|$.
- Contradiction : On a donc montré que $|f(z_0)| \le \text{moyenne de } |f| \text{ sur } C_r \le |f(z_0)|$. Cela implique que la moyenne de $|f|$ sur le cercle est exactement $|f(z_0)|$. Comme $|f|$ est une fonction continue et que sa moyenne sur le cercle est égale à sa valeur maximale sur ce même cercle, cela force $|f(z)|$ à être constant et égal à $|f(z_0)|$ sur tout le cercle $C_r$.
- Ceci étant vrai pour n’importe quel rayon $r$ assez petit, on en déduit que $|f(z)|$ est constant dans tout le disque $D$. Une propriété des fonctions holomorphes (liée aux équations de Cauchy-Riemann) stipule que si le module d’une fonction holomorphe est constant, alors la fonction elle-même est constante.
- Conclusion : On a montré que si $f$ atteint un maximum local à l’intérieur de $U$, elle doit être constante sur un voisinage, et par prolongement analytique, sur tout le domaine $U$. Ceci contredit l’hypothèse que $f$ est non constante.
Implications et Corollaires
- Principe du module minimum : Si $f$ est une fonction holomorphe sur un domaine $U$ qui ne s’annule pas, alors $|f(z)|$ atteint son minimum sur la frontière $\partial U$. (On l’applique au principe du maximum pour la fonction $1/f$).
- Lemme de Schwarz : C’est une conséquence importante du principe du module maximum qui permet de contrôler la croissance des fonctions holomorphes qui fixent l’origine dans le disque unité.
- Physique : Le principe a des analogues en physique. Par exemple, la température dans une région sans source de chaleur (régie par l’équation de Laplace, que satisfont les parties réelles et imaginaires des fonctions holomorphes) atteint toujours ses maximums et minimums sur les bords de la région.