Produit d’espaces connexes

Produit d’Espaces Connexes

Comme pour la compacité (avec le théorème de Tychonoff), la connexité est une propriété topologique qui se comporte bien avec l’opération de produit. Si l’on combine des espaces « d’un seul tenant », l’espace produit qui en résulte est également « d’un seul tenant ».

Remarques

• Cas fini : La démonstration pour un produit de deux espaces est assez accessible. Elle repose sur l’idée de relier deux points quelconques $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ en passant par un point intermédiaire comme $(x_1, y_2)$, en utilisant des chemins dans les espaces « horizontaux » et « verticaux » qui sont connexes.
• Cas infini : La preuve pour un produit infini est plus technique mais suit une logique similaire, en fixant un point de base et en montrant que tout autre point peut lui être relié.
• Réciproque : La réciproque est vraie : si un produit d’espaces non vides est connexe, alors chaque espace facteur est connexe.

Exemples Géométriques

• Le plan $\mathbb{R}^2$ : L’ensemble $\mathbb{R}$ est connexe. Par le théorème, le plan euclidien, vu comme le produit $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, est connexe. Par récurrence, l’espace $\mathbb{R}^n$ est connexe pour tout $n \ge 1$.
• Le cylindre : L’intervalle $[0, 1]$ est connexe et le cercle $\mathbb{S}^1$ est connexe. Leur produit, le cylindre $\mathbb{S}^1 \times [0, 1]$, est donc un espace connexe.
• Le tore : Le cercle $\mathbb{S}^1$ étant connexe, le tore $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ est également connexe.