Le produit et le quotient de nombres rationnels suivent les mêmes règles de signes que la multiplication et la division des entiers relatifs :
- Mêmes signes $\implies$ résultat positif.
- Signes différents $\implies$ résultat négatif.
I. Multiplication (Produit) de nombres rationnels
Considérons un carré de côté 1 (représentant l’unité 1). Hachurez $\frac{2}{3}$ de sa longueur et $\frac{3}{4}$ de sa largeur.
- Combien de petites cases l’aire totale contient-elle ? (Dénominateur du produit)
- Combien de petites cases sont hachurées deux fois (l’aire du produit) ? (Numérateur du produit)
- Quelle est la formule générale pour $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$ ?
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel dont :
- Le numérateur est le produit des numérateurs.
- Le dénominateur est le produit des dénominateurs.
I.1 Simplification avant multiplication (Méthode essentielle)
Avant d’effectuer le produit, il est **impératif** de chercher à simplifier le numérateur d’une fraction avec le dénominateur de l’autre fraction (ou de la même). Cela permet de manipuler des nombres plus petits et d’obtenir immédiatement un résultat simplifié.
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$On peut simplifier $a$ avec $b$ ou $d$, et $c$ avec $b$ ou $d$.
Calculer les produits suivants et donner le résultat sous forme irréductible :
- $P_1 = \frac{4}{9} \times \frac{1}{5}$
- $P_2 = \frac{-6}{7} \times \frac{14}{3}$
- $P_3 = 8 \times \frac{15}{-12}$
- $$ P_1 = \frac{4 \times 1}{9 \times 5} = \frac{4}{45} \quad (\text{Irréductible}) $$
- $$ P_2 = – \frac{6 \times 14}{7 \times 3} $$ On simplifie $6$ par $3$ (reste $2$) et $14$ par $7$ (reste $2$). $$ P_2 = – \frac{(2 \times 3) \times (2 \times 7)}{7 \times 3} = – (2 \times 2) = -4 $$
- $$ P_3 = \frac{8}{1} \times \frac{15}{-12} = – \frac{8 \times 15}{12} $$ On simplifie $8$ et $12$ par $4$ (reste $2$ et $3$). On simplifie $15$ par $3$ (reste $5$). $$ P_3 = – \frac{(2 \times 4) \times 15}{(3 \times 4)} = – \frac{2 \times 5}{1} = -10 $$
II. Division (Quotient) de nombres rationnels
II.1 Définition de l’Inverse
Soit $x$ un nombre rationnel non nul. L’inverse de $x$ est le nombre $x’$ tel que $x \times x’ = 1$.
Si $x = \frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$), alors son inverse est :
$$ \text{Inverse de } \frac{a}{b} = \frac{b}{a} $$Exemples :
- L’inverse de $\frac{2}{5}$ est $\frac{5}{2}$.
- L’inverse de $-7$ (soit $\frac{-7}{1}$) est $\frac{1}{-7}$ ou $-\frac{1}{7}$.
II.2 Règle du Quotient
Diviser par un nombre rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.
Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux nombres rationnels, avec $\frac{c}{d} \neq 0$.
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} $$Calculer les quotients suivants et donner le résultat sous forme irréductible :
- $Q_1 = \frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$
- $Q_2 = \frac{9}{-4} \div 3$
- $Q_3 = \frac{-14}{15} \div \frac{21}{10}$
- $$ Q_1 = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15} $$
- $Q_2 = \frac{9}{-4} \div \frac{3}{1}$. On inverse $\frac{3}{1}$ et on multiplie. $$ Q_2 = \frac{9}{-4} \times \frac{1}{3} = – \frac{9 \times 1}{4 \times 3} $$ On simplifie $9$ par $3$ (reste $3$). $$ Q_2 = – \frac{3}{4} $$
- $$ Q_3 = \frac{-14}{15} \times \frac{10}{21} = – \frac{14 \times 10}{15 \times 21} $$ On simplifie $14$ et $21$ par $7$ (reste $2$ et $3$). On simplifie $10$ et $15$ par $5$ (reste $2$ et $3$). $$ Q_3 = – \frac{(2 \times 7) \times (2 \times 5)}{(3 \times 5) \times (3 \times 7)} = – \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = – \frac{4}{9} $$
III. Expressions Combinées (Priorités des Opérations)
Dans une expression combinant les quatre opérations sur les nombres rationnels, l’ordre de priorité est le suivant :
- Calculs entre parenthèses ou au numérateur/dénominateur d’une grande barre de fraction.
- Multiplications et Divisions (de gauche à droite).
- Additions et Soustractions (de gauche à droite), après avoir réduit au même dénominateur.
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme irréductible :
- $E_1 = \frac{1}{2} – \frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$
- $E_2 = \left( \frac{5}{6} + 1 \right) \div \left( 3 – \frac{1}{3} \right)$
- $E_3 = \frac{ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} }{ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} }$
1. Calcul de $E_1$ : (Priorité à la multiplication)
$$ E_1 = \frac{1}{2} – \left( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \right) = \frac{1}{2} – \left( \frac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3} \right) $$ $$ E_1 = \frac{1}{2} – \frac{2}{3} $$ Réduction au même dénominateur $6$ : $$ E_1 = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} – \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} – \frac{4}{6} = \frac{3-4}{6} = – \frac{1}{6} $$2. Calcul de $E_2$ : (Priorité aux parenthèses)
$$ E_2 = \left( \frac{5}{6} + \frac{6}{6} \right) \div \left( \frac{9}{3} – \frac{1}{3} \right) $$ Calcul des parenthèses : $$ \text{Parenthèse 1} : \frac{11}{6} $$ $$ \text{Parenthèse 2} : \frac{8}{3} $$ Division (multiplication par l’inverse) : $$ E_2 = \frac{11}{6} \times \frac{3}{8} = \frac{11 \times 3}{2 \times 3 \times 8} $$ Simplification par $3$ : $$ E_2 = \frac{11}{2 \times 8} = \frac{11}{16} $$3. Calcul de $E_3$ : (Priorité Numérateur / Dénominateur)
Calcul du numérateur $N = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}$: $$ N = \frac{3 \times 1}{5 \times 2} = \frac{3}{10} $$ Calcul du dénominateur $D = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$. Dénominateur commun $6$. $$ D = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$ La fraction devient la division : $$ E_3 = \frac{N}{D} = \frac{3}{10} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{10} \times \frac{6}{5} $$ Simplification ($10 = 2 \times 5$ et $6 = 2 \times 3$) : $$ E_3 = \frac{3 \times 2 \times 3}{2 \times 5 \times 5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 5} = \frac{9}{25} $$