Le Produit scalaire constitue la structure fondamentale permettant d’introduire les notions métriques de longueur, d’angle et d’orthogonalité au sein des espaces vectoriels réels. Il s’agit d’une forme bilinéaire symétrique définie positive qui transforme un espace vectoriel abstrait en un espace euclidien géométrique.
Définition formelle et axiomes
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps des réels $\mathbb{R}$. Un produit scalaire sur $E$ est une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$, souvent notée $\langle x, y \rangle$ ou $(x|y)$, vérifiant les quatre propriétés axiomatiques suivantes pour tous vecteurs $x, y, z \in E$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ :
- Bilinéarité : L’application est linéaire par rapport à chaque variable séparément. $$ \langle \lambda x + y, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle $$ $$ \langle x, \lambda y + z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle $$
- Symétrie : L’ordre des vecteurs n’influe pas sur la valeur. $$ \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle $$
- Positivité : Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est toujours positif ou nul. $$ \langle x, x \rangle \geq 0 $$
- Définie positivité : Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est nul si et seulement si le vecteur est nul. $$ \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E $$
Un espace vectoriel réel muni d’un tel produit scalaire est appelé un espace préhilbertien réel. Si l’espace est de dimension finie, on parle d’espace euclidien.
Exemples canoniques de produits scalaires
Dans l’espace usuel $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire canonique est défini par la somme des produits des composantes. Pour $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$ :
$$ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$Dans l’espace vectoriel $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur un segment, on définit un produit scalaire par l’intégrale du produit des fonctions :
$$ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) \, dt $$Cette définition étend la notion géométrique aux espaces de dimension infinie, fondement de l’analyse fonctionnelle.
Théorèmes fondamentaux et inégalités
L’étude du produit scalaire met en évidence deux inégalités majeures qui structurent toute la géométrie euclidienne et l’analyse.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Ce théorème central majore la valeur absolue du produit scalaire par le produit des normes associées. Pour tous $x, y \in E$ :
$$ |\langle x, y \rangle| \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle} $$L’égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $x$ et $y$ sont linéairement dépendants (colinéaires).
Preuve : Considérons le polynôme réel $P(\lambda) = \langle x + \lambda y, x + \lambda y \rangle$ pour $\lambda \in \mathbb{R}$. Par positivité du produit scalaire, $P(\lambda) \geq 0$ pour tout $\lambda$.
En développant par bilinéarité et symétrie :
$$ P(\lambda) = \langle x, x \rangle + 2\lambda \langle x, y \rangle + \lambda^2 \langle y, y \rangle \geq 0 $$Si $\langle y, y \rangle = 0$, alors $y=0$ et l’inégalité est triviale. Sinon, c’est un trinôme du second degré en $\lambda$ toujours positif. Son discriminant réduit $\Delta’$ doit donc être négatif ou nul :
$$ \Delta’ = \langle x, y \rangle^2 – \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle \leq 0 $$Ceci implique directement $\langle x, y \rangle^2 \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$, d’où le résultat en prenant la racine carrée. $\blacksquare$
Inégalité de Minkowski (Triangulaire)
Cette inégalité assure que la racine carrée du produit scalaire d’un vecteur avec lui-même définit bien une norme. Pour tous $x, y \in E$ :
$$ \sqrt{\langle x+y, x+y \rangle} \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} + \sqrt{\langle y, y \rangle} $$Preuve : Élevons au carré les deux membres (qui sont positifs). Le membre de gauche devient :
$$ \|x+y\|^2 = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle $$En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons $2\langle x, y \rangle \leq 2\|x\|\|y\|$. Donc :
$$ \|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2 $$La croissance de la fonction racine carrée permet de conclure immédiatement. $\blacksquare$
Norme euclidienne et orthogonalité
Le produit scalaire induit naturellement une structure métrique via la norme euclidienne et permet de définir l’orthogonalité, concept clé de la géométrie.
Définition de la norme associée
La norme euclidienne $\|\cdot\|$ associée au produit scalaire est définie par :
$$ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} $$Cette norme satisfait les axiomes d’une norme vectorielle grâce aux théorèmes précédents. Elle permet de mesurer la « longueur » des vecteurs et la distance entre deux points $d(x,y) = \|x-y\|$.
Orthogonalité et théorème de Pythagore
Deux vecteurs $x$ et $y$ sont dits orthogonaux, noté $x \perp y$, si et seulement si leur produit scalaire est nul :
$$ \langle x, y \rangle = 0 $$Cette généralisation de la perpendicularité conduit au théorème de Pythagore généralisé. Si $x \perp y$, alors :
$$ \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 $$Réciproquement, dans un espace réel, si cette égalité des normes au carré est vérifiée, alors les vecteurs sont orthogonaux. Cette propriété s’étend à toute famille finie de vecteurs deux à deux orthogonaux.
Identité du parallélogramme
Une propriété caractéristique des normes issues d’un produit scalaire est l’identité du parallélogramme. Pour tous $x, y \in E$ :
$$ \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) $$Démonstration : Développons les termes :
$$ \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 $$ $$ \|x-y\|^2 = \|x\|^2 – 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 $$La somme annule le terme croisé $2\langle x, y \rangle$, laissant exactement $2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$. $\blacksquare$
Représentation matricielle et formes quadratiques
Dans un espace de dimension finie, le calcul du produit scalaire se ramène à une opération matricielle impliquant la matrice de Gram.
Matrice du produit scalaire dans une base
Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. La matrice $G$ du produit scalaire dans cette base, appelée matrice de Gram, a pour coefficients :
$$ G_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle $$Pour deux vecteurs $x$ et $y$ de matrices colonnes $X$ et $Y$ dans la base $\mathcal{B}$, le produit scalaire s’écrit :
$$ \langle x, y \rangle = X^T G Y = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n G_{ij} x_i y_j $$La matrice $G$ est nécessairement symétrique et définie positive. Réciproquement, toute matrice symétrique définie positive définit un produit scalaire unique via cette formule.
Cas des bases orthonormées
Si la base $\mathcal{B}$ est orthonormée, alors par définition $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker). La matrice de Gram devient la matrice identité $I_n$.
L’expression du produit scalaire se simplifie alors considérablement pour retrouver la forme canonique :
$$ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = X^T Y $$Cette simplification justifie l’intérêt majeur des bases orthonormées dans les calculs numériques et théoriques.
Exemples concrets et applications
Illustrons ces concepts par des exemples analytiques montrant la vérification des axiomes et le calcul explicite.
Exemple 1 : Produit scalaire pondéré dans $\mathbb{R}^2$
Considérons l’application $\varphi : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par :
$$ \varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = 2x_1 y_1 + 3x_2 y_2 $$Vérifions les axiomes. La bilinéarité et la symétrie sont évidentes par les propriétés de la multiplication réelle. Pour la définie positivité :
$$ \varphi(x, x) = 2x_1^2 + 3x_2^2 $$Puisque $2 > 0$ et $3 > 0$, cette somme est nulle si et seulement si $x_1=0$ et $x_2=0$. C’est donc bien un produit scalaire. Sa matrice dans la base canonique est diagonale : $G = \text{diag}(2, 3)$.
Exemple 2 : Contre-exemple de forme non définie positive
Considérons la forme bilinéaire symétrique $\psi(x, y) = x_1 y_1 – x_2 y_2$ sur $\mathbb{R}^2$. Bien que symétrique et bilinéaire, elle n’est pas un produit scalaire.
Prenons le vecteur non nul $u = (0, 1)$. Alors :
$$ \psi(u, u) = 0^2 – 1^2 = -1 < 0 $$La condition de positivité est violée. Il s’agit d’une forme quadratique de signature $(1, -1)$, typique de la géométrie de Minkowski en relativité, mais pas d’une géométrie euclidienne.
Application : Projection orthogonale
Le produit scalaire est l’outil indispensable pour définir la projection orthogonale d’un vecteur $x$ sur un sous-espace $F$. Si $F$ est engendré par un vecteur unitaire $u$, la projection $p(x)$ est :
$$ p(x) = \langle x, u \rangle u $$Le coefficient $\langle x, u \rangle$ représente la mesure algébrique de la composante de $x$ dans la direction de $u$. Cette formule minimise la distance euclidienne entre $x$ et le sous-espace $F$.
Conclusion synthétique
Le produit scalaire est la pierre angulaire de la géométrie euclidienne, reliant algèbre linéaire et mesures géométriques. Ses propriétés de bilinéarité, symétrie et définie positivité garantissent l’existence d’une norme et d’une notion d’angle robustes.
Maîtriser ses inégalités fondamentales (Cauchy-Schwarz, Minkowski) et sa représentation matricielle est essentiel pour aborder des domaines avancés tels que l’optimisation convexe, l’analyse de Fourier et la mécanique quantique où les espaces de Hilbert généralisent ces concepts.