Propriétés de l’anneau quotient

Soit $I$ un idéal d’un anneau commutatif $A$. L’application $\pi: A \to A/I$ définie pour tout $a \in A$ par : $$ \pi(a) = \bar{a} = a+I $$ est un morphisme d’anneaux surjectif.

Démonstration :

• Morphisme : Nous devons vérifier que $\pi$ respecte l’addition et la multiplication. Pour tous $a, b \in A$ :
  • $\pi(a+b) = \overline{a+b} = \bar{a}+\bar{b} = \pi(a)+\pi(b)$
  • $\pi(a \cdot b) = \overline{a \cdot b} = \bar{a} \cdot \bar{b} = \pi(a) \cdot \pi(b)$
  • $\pi(1_A) = \overline{1_A} = 1_{A/I}$
  Les deux premières égalités sont vraies par définition même des lois sur l’anneau quotient. L’application $\pi$ est donc bien un morphisme d’anneaux.
• Surjectivité : Soit $\bar{y}$ un élément quelconque de $A/I$. Par définition, $\bar{y}$ est une classe d’équivalence, donc il existe un représentant $y \in A$ tel que $\bar{y} = y+I$. On a alors $\pi(y) = \bar{y}$. Ainsi, tout élément de $A/I$ a au moins un antécédent par $\pi$. L’application est surjective.

Le noyau de la surjection canonique $\pi: A \to A/I$ est précisément l’idéal $I$. $$ \ker(\pi) = I $$

Démonstration :
Par définition, $\ker(\pi) = \{ a \in A \mid \pi(a) = 0_{A/I} \}$. L’élément nul de l’anneau quotient $A/I$ est la classe $\bar{0} = 0+I = I$. Donc, $a \in \ker(\pi) \iff \pi(a) = \bar{0} \iff \bar{a} = I \iff a+I = I \iff a \in I$. L’égalité est donc démontrée.

Soit $I$ un idéal de l’anneau $A$. Soit $\pi: A \to A/I$ la surjection canonique. Pour tout autre anneau $B$ et tout morphisme d’anneaux $f: A \to B$ tel que $I \subseteq \ker(f)$, il existe un unique morphisme d’anneaux $\bar{f}: A/I \to B$ qui rend le diagramme suivant commutatif, c’est-à-dire tel que $f = \bar{f} \circ \pi$.

$A \xrightarrow{f} B$
$\pi \downarrow \quad \nearrow \bar{f}$
$A/I$

Idée de la démonstration :
L’unicité nous guide pour trouver $\bar{f}$. Si une telle application existe, pour tout $\bar{a} \in A/I$, on doit avoir $f(a) = (\bar{f} \circ \pi)(a) = \bar{f}(\pi(a)) = \bar{f}(\bar{a})$. Cela nous force à définir $\bar{f}(\bar{a}) = f(a)$.
Il faut alors vérifier que cette définition est bien fondée (ne dépend pas du choix du représentant $a$). Si $\bar{a} = \bar{a’}$, alors $a-a’ \in I$. Puisque $I \subseteq \ker(f)$, on a $f(a-a’)=0$, donc $f(a)-f(a’)=0$, soit $f(a)=f(a’)$. La définition est cohérente. On vérifie ensuite que $\bar{f}$ ainsi définie est bien un morphisme, ce qui découle du fait que $f$ en est un.

Soit $f: A \to B$ un morphisme d’anneaux. Alors, l’anneau quotient $A/\ker(f)$ est isomorphe à l’image de $f$, $\text{Im}(f)$. $$ A/\ker(f) \cong \text{Im}(f) $$

Ce théorème est une conséquence directe de la propriété universelle. Le morphisme $f: A \to \text{Im}(f)$ a pour noyau $\ker(f)$. La propriété universelle nous donne un morphisme $\bar{f}: A/\ker(f) \to \text{Im}(f)$. On montre que ce $\bar{f}$ est injectif et surjectif, donc c’est un isomorphisme.

Soit $I$ un idéal d’un anneau $A$. Il existe une bijection croissante entre l’ensemble des idéaux de $A/I$ et l’ensemble des idéaux de $A$ qui contiennent $I$.

Cette correspondance est donnée par :

• Pour un idéal $J$ de $A$ contenant $I$, l’idéal correspondant dans $A/I$ est $J/I = \pi(J) = \{j+I \mid j \in J\}$.
• Pour un idéal $\mathcal{J}$ de $A/I$, l’idéal correspondant dans $A$ est $\pi^{-1}(\mathcal{J}) = \{a \in A \mid \pi(a) \in \mathcal{J}\}$.

De plus, pour tout idéal $J$ de $A$ contenant $I$, on a l’isomorphisme suivant : $$ (A/I) / (J/I) \cong A/J $$