Propriétés de l’Intégrale Multiple
Les intégrales doubles et triples partagent les mêmes propriétés fondamentales que les intégrales simples. Ces propriétés sont essentielles pour manipuler et simplifier les calculs. Soit $D$ un domaine d’intégration dans $\mathbb{R}^2$ (ou $\mathbb{R}^3$).
1. Linéarité
L’intégrale est un opérateur linéaire. Cela signifie qu’elle se comporte bien avec les additions et les multiplications par des constantes.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $D$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ des constantes.
- Additivité : L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. $$ \iint_D (f(x,y) + g(x,y)) \,dA = \iint_D f(x,y) \,dA + \iint_D g(x,y) \,dA $$
- Homogénéité : On peut « sortir » les constantes de l’intégrale. $$ \iint_D \lambda f(x,y) \,dA = \lambda \iint_D f(x,y) \,dA $$
2. Additivité par Rapport au Domaine (Relation de Chasles)
Si un domaine d’intégration $D$ est la réunion de deux domaines disjoints $D_1$ et $D_2$, on peut calculer l’intégrale sur $D$ en additionnant les intégrales sur chaque sous-domaine.
Si $D = D_1 \cup D_2$ et l’intersection de $D_1$ et $D_2$ est de mesure nulle (une courbe ou un point), alors : $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \iint_{D_1} f(x,y) \,dA + \iint_{D_2} f(x,y) \,dA $$
Cette propriété est très utile pour calculer des intégrales sur des domaines complexes qui peuvent être décomposés en domaines plus simples (de type 1 ou 2).
3. Positivité et Monotonie
L’intégrale préserve les relations d’ordre entre les fonctions.
- Positivité : Si une fonction est positive sur un domaine, son intégrale sur ce domaine est positive. $$ \text{Si } f(x,y) \ge 0 \text{ pour tout } (x,y) \in D, \text{ alors } \iint_D f(x,y) \,dA \ge 0 $$
- Croissance : Si une fonction $f$ est toujours plus petite qu’une fonction $g$ sur un domaine, son intégrale le sera aussi. $$ \text{Si } f(x,y) \le g(x,y) \text{ pour tout } (x,y) \in D, \text{ alors } \iint_D f(x,y) \,dA \le \iint_D g(x,y) \,dA $$
4. Inégalité Triangulaire
L’intégrale de la valeur absolue est supérieure ou égale à la valeur absolue de l’intégrale.
5. Application au Calcul d’Aires et de Volumes
- L’aire d’un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ est donnée par l’intégrale double de la fonction constante 1 sur ce domaine : $$ \text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA $$
- Le volume d’une région $E \subset \mathbb{R}^3$ est donné par l’intégrale triple de la fonction constante 1 sur cette région : $$ \text{Volume}(E) = \iiint_E 1 \,dV $$
6. Théorème de la Valeur Moyenne
On peut définir la valeur moyenne d’une fonction sur un domaine.
La valeur moyenne d’une fonction $f$ sur un domaine $D$ est donnée par : $$ \bar{f} = \frac{1}{\text{Aire}(D)} \iint_D f(x,y) \,dA $$
Si $f$ est continue et $D$ est compact et connexe, alors il existe au moins un point $c \in D$ tel que $f(c) = \bar{f}$.