Propriétés de l’Intérieur et de l’Adhérence
Les opérateurs d’intérieur et d’adhérence sont des outils fondamentaux en topologie. Ils permettent de décrire la position relative d’une partie par rapport à son environnement. Leurs propriétés algébriques sont essentielles pour les démonstrations.
Proposition : Propriétés Fondamentales
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique, et soient $A, B$ deux parties de $X$.
- Monotonie : Si $A \subseteq B$, alors $\mathring{A} \subseteq \mathring{B}$ et $\bar{A} \subseteq \bar{B}$.
- Idempotence : L’intérieur de l’intérieur est l’intérieur, et l’adhérence de l’adhérence est l’adhérence. $$ \mathring{(\mathring{A})} = \mathring{A} \quad \text{et} \quad \bar{\bar{A}} = \bar{A} $$
- Intersection : L’intérieur de l’intersection est l’intersection des intérieurs. L’adhérence de l’intersection est incluse dans l’intersection des adhérences. $$ \mathring{(A \cap B)} = \mathring{A} \cap \mathring{B} \quad \text{et} \quad \overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cap \bar{B} $$
- Union : L’union des intérieurs est incluse dans l’intérieur de l’union. L’adhérence de l’union est l’union des adhérences. $$ \mathring{A} \cup \mathring{B} \subseteq \mathring{(A \cup B)} \quad \text{et} \quad \overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B} $$
- Dualité (Lois de Morgan) : Le complémentaire de l’adhérence est l’intérieur du complémentaire, et vice-versa. $$ (\bar{A})^c = \mathring{(A^c)} \quad \text{et} \quad (\mathring{A})^c = \overline{A^c} $$
Remarques et Contre-exemples
Il est crucial de noter que les inclusions dans les points 3 et 4 sont en général strictes.
- Pour l’intersection des adhérences : Considérons dans $\mathbb{R}$, $A = ]0, 1[$ et $B = ]1, 2[$. On a $A \cap B = \emptyset$, donc $\overline{A \cap B} = \emptyset$. Cependant, $\bar{A} = [0, 1]$ et $\bar{B} = [1, 2]$, donc $\bar{A} \cap \bar{B} = \{1\}$. On a bien $\emptyset \subset \{1\}$.
- Pour l’union des intérieurs : Considérons dans $\mathbb{R}$, $A = [0, 1]$ et $B = [1, 2]$. On a $\mathring{A} = ]0, 1[$ et $\mathring{B} = ]1, 2[$, donc $\mathring{A} \cup \mathring{B} = ]0, 1[ \cup ]1, 2[$. Cependant, $A \cup B = [0, 2]$, donc $\mathring{(A \cup B)} = ]0, 2[$. On a bien $]0, 1[ \cup ]1, 2[ \subset ]0, 2[$.