Propriétés des Ensembles Connexes
Les ensembles connexes possèdent plusieurs propriétés de stabilité importantes qui permettent de construire de nouveaux ensembles connexes à partir d’anciens. Comprendre ces propriétés est essentiel pour manipuler la notion de connexité.
L’union d’une famille de parties connexes ayant une intersection non vide est une partie connexe.
Autrement dit, si $(C_i)_{i \in I}$ est une famille de connexes de $X$ et si $\bigcap_{i \in I} C_i \neq \emptyset$, alors $\bigcup_{i \in I} C_i$ est connexe.
Cette propriété est très intuitive : si l’on « colle » ensemble plusieurs morceaux connexes en s’assurant qu’ils ont tous au moins un point en commun, l’objet résultant est toujours d’un seul tenant.
Si $A$ est une partie connexe d’un espace topologique $X$, alors son adhérence $\bar{A}$ est également connexe.
De manière plus générale, toute partie $B$ telle que $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$ est connexe.
Cette propriété signifie qu’en ajoutant à un ensemble connexe ses points « limites », on ne brise pas sa connexité.
Le produit d’une famille d’espaces topologiques connexes est connexe pour la topologie produit.
Exemples d’Application
- La « croix » dans $\mathbb{R}^2$ : L’ensemble $X = (\{0\} \times [-1, 1]) \cup ([-1, 1] \times \{0\})$ est connexe. En effet, c’est l’union de deux segments (qui sont connexes) dont l’intersection est le point $(0,0)$, qui est non vide.
- La courbe du topologue : L’ensemble $S = \{ (x, \sin(1/x)) \mid x \in ]0, 1] \}$ est l’image continue de l’intervalle connexe $]0, 1]$, donc $S$ est connexe. L’adhérence $\bar{S}$ (qui inclut le segment vertical en $x=0$) est donc également connexe.
- Le cylindre : Le cercle $\mathbb{S}^1$ et l’intervalle $[0, 1]$ sont connexes. Leur produit, le cylindre $\mathbb{S}^1 \times [0, 1]$, est donc connexe.