Propriétés des Ensembles Fermés
Les propriétés des ensembles fermés se déduisent directement de celles des ouverts en utilisant les lois de De Morgan sur le passage au complémentaire. Elles constituent une vision « duale » des axiomes de la topologie.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. La collection des fermés de $X$ possède les propriétés duales suivantes :
- Stabilité par intersection quelconque : L’intersection d’une famille quelconque (finie ou infinie) d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
- Stabilité par union finie : L’union d’une famille finie d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
- Éléments triviaux : L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace tout entier $X$ sont des fermés (car leurs complémentaires, $X$ et $\emptyset$, sont des ouverts).
Contre-exemple : Union infinie de fermés
De manière duale aux ouverts, une union infinie de fermés n’est pas nécessairement un fermé.
Considérons la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$. Pour chaque entier $n \ge 1$, l’intervalle $F_n = \left[ \frac{1}{n}, 1 \right]$ est un ensemble fermé. Leur union infinie est : $$ \bigcup_{n=1}^{+\infty} F_n = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left[ \frac{1}{n}, 1 \right] = \left] 0, 1 \right] $$ L’ensemble obtenu est l’intervalle $\left] 0, 1 \right]$, qui n’est ni ouvert, ni fermé dans la topologie usuelle de $\mathbb{R}$.
Remarque : Ensembles ouverts et fermés
Attention, « fermé » n’est pas le contraire de « ouvert ». Un ensemble peut être les deux à la fois (comme $\emptyset$ et $X$ dans n’importe quelle topologie) ou n’être ni l’un ni l’autre (comme $\left] 0, 1 \right]$ dans $\mathbb{R}$).