Propriétés des Ensembles Ouverts
Les ensembles ouverts de $\mathbb{R}^n$ ne sont pas des objets isolés ; ils possèdent une structure remarquable qui est définie par leur comportement vis-à-vis des opérations ensemblistes de base : l’union et l’intersection. L’ensemble des ouverts de $\mathbb{R}^n$ forme ce que l’on appelle une topologie.
La collection $\mathcal{T}$ de tous les ensembles ouverts de $\mathbb{R}^n$ vérifie les trois axiomes suivants :
- Stabilité par union quelconque : Si $(U_i)_{i \in I}$ est une famille quelconque (finie ou infinie) d’ensembles ouverts, alors leur union $\bigcup_{i \in I} U_i$ est un ensemble ouvert.
- Stabilité par intersection finie : Si $(U_i)_{i=1}^k$ est une famille finie d’ensembles ouverts, alors leur intersection $\bigcap_{i=1}^k U_i$ est un ensemble ouvert.
- Éléments triviaux : L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace entier $\mathbb{R}^n$ sont des ensembles ouverts.
Démonstrations des Propriétés
Soit $(U_i)_{i \in I}$ une famille d’ouverts de $\mathbb{R}^n$ et notons $U = \bigcup_{i \in I} U_i$.
Soit $x$ un point quelconque de $U$. Par définition de l’union, il existe (au moins) un indice $j \in I$ tel que $x \in U_j$.
Comme $U_j$ est un ouvert, il existe par définition un rayon $r > 0$ tel que la boule ouverte $B(x, r)$ soit entièrement incluse dans $U_j$.
Puisque $U_j \subset U$, on a a fortiori $B(x, r) \subset U$.
Nous avons montré que pour tout point $x \in U$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ qui est contenue dans $U$. Donc, $U$ est un ensemble ouvert.
Soit $(U_i)_{i=1}^k$ une famille finie d’ouverts et notons $V = \bigcap_{i=1}^k U_i$.
Soit $x$ un point quelconque de $V$. Par définition de l’intersection, $x$ appartient à chaque ensemble $U_i$ pour $i \in \{1, \dots, k\}$.
Pour chaque $i$, puisque $U_i$ est ouvert, il existe un rayon $r_i > 0$ tel que $B(x, r_i) \subset U_i$.
Nous cherchons un rayon unique $r$ tel que $B(x, r)$ soit incluse dans tous les $U_i$ simultanément. Posons $r = \min(r_1, r_2, \dots, r_k)$.
Puisque l’ensemble des rayons $\{r_1, \dots, r_k\}$ est fini, leur minimum $r$ est bien défini et surtout, il est strictement positif (car chaque $r_i > 0$).
Par construction, pour tout $i \in \{1, \dots, k\}$, on a $r \le r_i$, donc $B(x, r) \subset B(x, r_i)$.
Ainsi, $B(x, r) \subset B(x, r_i) \subset U_i$ pour tous les $i$. Par conséquent, $B(x, r) \subset \bigcap_{i=1}^k U_i = V$.
[Image illustrant l’intersection de deux ensembles ouverts]
Nous avons donc montré que $V$ est un ensemble ouvert.
- Ensemble vide $\emptyset$ : Il est ouvert de manière « vacuante ». La condition « Pour tout $x \in \emptyset$, … » est toujours vraie car il n’y a aucun $x$ dans l’ensemble vide.
- Espace entier $\mathbb{R}^n$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, n’importe quelle boule ouverte $B(x, r)$ (par exemple pour $r=1$) est par définition un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$. Donc $\mathbb{R}^n$ est ouvert.
Le Cas Crucial de l’Intersection Infinie
La condition de finitude pour l’intersection est essentielle. Une intersection infinie d’ensembles ouverts n’est pas nécessairement ouverte.
Considérons dans $\mathbb{R}$ la famille infinie d’intervalles ouverts $U_n = \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Chaque $U_n$ est bien un ensemble ouvert (c’est une boule ouverte de centre 0 et de rayon $1/n$).
Cependant, leur intersection est : $$ \bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{0\} $$ En effet, le seul nombre réel $x$ qui vérifie $|x| < 1/n$ pour tous les entiers $n \ge 1$ est $x=0$.
L’ensemble $\{0\}$ n’est pas un ouvert de $\mathbb{R}$. Il est impossible de trouver une boule ouverte $B(0, r) = ]-r, r[$ qui soit contenue dans $\{0\}$. Au contraire, c’est un ensemble fermé.
Cet exemple montre pourquoi la démonstration pour l’intersection finie ne fonctionne plus : si l’on prend une infinité de rayons $r_n = 1/n$, leur « minimum » (en fait, leur infimum) est 0. Il est alors impossible de garantir l’existence d’un rayon $r > 0$.