Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est strictement monotone sur $I$, alors $f$ est injective sur $I$.
Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors :
- $f$ établit une bijection de l’intervalle $I$ sur l’intervalle image $J=f(I)$.
- La fonction réciproque $f^{-1}: J \to I$ est continue et strictement monotone sur $J$, et elle a le même sens de variation que $f$.
Démonstration
1. L’injectivité est assurée par la monotonie stricte. La surjectivité sur $J=f(I)$ est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. $f$ est donc bien une bijection de $I$ sur $J$.
2. Montrons que $f^{-1}$ est strictement monotone (en supposant $f$ croissante). Soient $y, y’ \in J$ avec $y < y'$. Posons $x=f^{-1}(y)$ et $x'=f^{-1}(y')$. On a $f(x) < f(x')$. Comme $f$ est strictement croissante, cela implique $x < x'$, c'est-à-dire $f^{-1}(y) < f^{-1}(y')$. Donc $f^{-1}$ est strictement croissante.
Montrons que $f^{-1}$ est continue. Soit $y_0 \in J$ et $x_0 = f^{-1}(y_0)$. Soit $\epsilon > 0$. L’intervalle $[x_0-\epsilon, x_0+\epsilon]$ a pour image par $f$ un intervalle $[f(x_0-\epsilon), f(x_0+\epsilon)]$. Cet intervalle image contient $y_0$ en son intérieur. On peut donc trouver un $\delta > 0$ tel que $]y_0-\delta, y_0+\delta[$ soit inclus dans cet intervalle image. Par la croissance de $f^{-1}$, l’image de $]y_0-\delta, y_0+\delta[$ par $f^{-1}$ est incluse dans $]x_0-\epsilon, x_0+\epsilon[$, ce qui prouve la continuité.
Exemples de Fonctions Réciproques
Fonctions Trigonométriques
- La fonction $x \mapsto \sin x$ est continue et strictement croissante sur $[-\pi/2, \pi/2]$. Sa réciproque est la fonction Arcsinus, notée $\arcsin : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$.
- La fonction $x \mapsto \cos x$ est continue et strictement décroissante sur $[0, \pi]$. Sa réciproque est la fonction Arccosinus, notée $\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$.
- La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue et strictement croissante sur $]-\pi/2, \pi/2[$. Sa réciproque est la fonction Arctangente, notée $\arctan : \mathbb{R} \to ]-\pi/2, \pi/2[$.
Fonctions Hyperboliques
- La fonction $x \mapsto \cosh x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Sa réciproque est la fonction Argument cosinus hyperbolique, notée $\text{argch} : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}^+$.
- La fonction $x \mapsto \sinh x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa réciproque est la fonction Argument sinus hyperbolique, notée $\text{argsh} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- La fonction $x \mapsto \tanh x$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa réciproque est la fonction Argument tangente hyperbolique, notée $\text{argth} : ]-1, 1[ \to \mathbb{R}$.