Propriétés d’une Loi de Composition Interne
Une loi de composition interne peut posséder des propriétés supplémentaires qui enrichissent la structure algébrique. Les deux propriétés les plus fondamentales sont l’associativité, qui permet de se passer de parenthèses, et la commutativité, qui permet de changer l’ordre des opérandes.
Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble $E$ est dite associative si, pour tous les éléments $x, y, z$ de $E$, on a : $$ (x \star y) \star z = x \star (y \star z) $$ Quand une loi est associative, on peut noter le composé $x \star y \star z$ sans ambiguïté.
Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble $E$ est dite commutative si, pour tous les éléments $x, y$ de $E$, on a : $$ x \star y = y \star x $$
Exemples
- L’addition (+) sur $\mathbb{Z}$ : Elle est associative ($(x+y)+z = x+(y+z)$) et commutative ($x+y = y+x$).
- La multiplication ($\times$) sur $\mathbb{R}$ : Elle est associative et commutative.
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La soustraction (-) sur $\mathbb{Z}$ :
- Elle n’est pas associative : $(8-4)-2 = 4-2=2$, mais $8-(4-2) = 8-2=6$.
- Elle n’est pas commutative : $5-3=2$, mais $3-5=-2$.
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La composition de fonctions ($\circ$) :
- Elle est associative : $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$. C’est une propriété fondamentale de la composition.
- Elle n’est en général pas commutative : $f \circ g \neq g \circ f$.
- La multiplication matricielle : Sur l’ensemble des matrices carrées, elle est associative mais non commutative.