Quizz : Applications aux suites récurrentes linéaires 

Quiz : Applications aux suites récurrentes linéaires

Le lien entre Suites et Matrices

Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2, définies par $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$, peuvent être résolues en utilisant la puissance d’une matrice $A$, en posant :

$$ \mathbf{V}_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} u_n \\ u_{n-1} \end{pmatrix} = A \mathbf{V}_n $$

Il en découle $\mathbf{V}_n = A^n \mathbf{V}_0$. La diagonalisation de $A$ est donc essentielle.

1. Pour la suite récurrente $u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n$, quelle est la matrice $A$ telle que $\mathbf{V}_{n+1} = A\mathbf{V}_n$ si $\mathbf{V}_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$ ?

2. L’équation caractéristique $\det(A – \lambda I) = 0$ de la matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ donne :

3. Si les valeurs propres de $A$ sont $\lambda_1$ et $\lambda_2$ (distinctes), quelle est la forme de la solution générale $u_n$ ?

4. Si une valeur propre $\lambda$ de la matrice $A$ est telle que $|\lambda| < 1$, que se passe-t-il pour le terme correspondant $C \lambda^n$ lorsque $n \to \infty$ ?

5. Si $A$ a une seule valeur propre $\lambda$ double, quelle est la forme de la solution générale $u_n$ ?