Quizz : Calcul de la puissance d’une matrice (Cas simples)

Puissance Matricielle $A^k$

La puissance d’une matrice $A^k$ est le produit répété de la matrice $A$ par elle-même, $k$ fois. $A^k = A \cdot A \cdots A$.

L’opération n’est définie que pour les **matrices carrées**.

1. Pour que la puissance $A^k$ soit définie pour $k > 1$, la matrice $A$ doit nécessairement être :

Une matrice diagonale. Une matrice carrée. Une matrice inversible.

2. Si $A$ est une matrice diagonale, comment obtient-on $A^k$ ?

En élevant tous les éléments à la puissance $k$. En élevant chaque élément sur la diagonale à la puissance $k$. En multipliant les éléments de la diagonale par $k$.

3. Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, que vaut $A^3$ ?

$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

4. Si une matrice $A$ est **idempotente** (c’est-à-dire $A^2 = A$), que vaut $A^k$ pour $k \ge 1$ ?

$I$ (la matrice identité). $0$ (la matrice nulle). $A$ (la matrice elle-même).

5. Si $A$ est une matrice **nilpotente** d’ordre 2 (c’est-à-dire $A^2=0$ et $A \ne 0$), que vaut $A^3$ ?

$A$ $0$ (la matrice nulle). $I$ (la matrice identité).

Quiz : Calcul de la Puissance d’une Matrice (Cas Simples)

Puissance Matricielle $A^k$

Quiz terminé !