Quizz : Calculer le noyau (Kernel) d’une application linéaire

Quiz : Calcul du Noyau (Ker)

Concept : Noyau de l’application linéaire

Le **Noyau** (ou *Kernel*) d’une application linéaire $f: E \to F$ est l’ensemble des vecteurs de l’espace de départ $E$ qui sont envoyés sur le vecteur nul de l’espace d’arrivée $F$.

Définition : $\text{Ker}(f) = \{\vec{u} \in E \mid f(\vec{u}) = \vec{0}_F\}$

  • $\text{Ker}(f)$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$.

1. Parmi les affirmations suivantes, laquelle définit correctement le Noyau $\text{Ker}(f)$ ?

2. Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x, y) = x – 2y$. Quelle est la dimension du noyau $\text{Ker}(f)$ ?

3. Si le noyau d’une application linéaire $f$ est réduit au vecteur nul, $\text{Ker}(f) = \{\vec{0}_E\}$, que peut-on en conclure ?

4. Quel est le noyau de l’application nulle $Z: E \to F$, définie par $Z(\vec{u}) = \vec{0}_F$ pour tout $\vec{u} \in E$ ?

5. Selon le Théorème du Rang, si $E$ est de dimension finie, alors $\dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ est égal à :