Quiz : Caractéristique d’un Anneau

Ce quiz porte sur la notion de **caractéristique** d’un anneau unitaire $A$, notée $\text{car}(A)$, qui est essentielle pour comprendre la structure d’un anneau ou d’un corps.

Rappel : $\text{car}(A)$ est le plus petit entier positif $n$ tel que $n \cdot 1_A = 0_A$. Si aucun tel $n$ n’existe, $\text{car}(A) = 0$.

Question 1 : Soit $A$ un anneau unitaire. La caractéristique de $A$ est le plus petit entier positif $n$ tel que :

$\underbrace{a+a+\dots+a}_{n \text{ fois}} = 0$ pour tout $a \in A$. $n \cdot 1_A = 0_A$. L’idéal $\langle n \rangle$ est l’idéal nul.

Question 2 : On dit qu’un anneau $A$ a une caractéristique nulle ($\text{car}(A) = 0$) si :

L’anneau est infini. Le plus petit entier $n>0$ tel que $n \cdot 1_A = 0_A$ n’existe pas. L’anneau est isomorphe à $\mathbb{Z}$.

Question 3 : Quelle est la caractéristique de l’anneau des nombres complexes $\mathbb{C}$ ?

$1$ $0$ $2$

Question 4 : Quelle est la caractéristique de l’anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour $n \ge 2$) ?

$1$ $n$ Le plus petit diviseur premier de $n$.

Question 5 : Si un Anneau Intègre (comme un Corps) a une caractéristique $n > 0$, quelle propriété doit satisfaire $n$ ?

$n$ peut être n’importe quel entier positif. $n$ doit être un nombre premier. $n$ doit être une puissance de 2.

Question 6 : Quelle est la caractéristique de l’anneau $\mathbb{R}[X]$ (polynômes à coefficients réels) ?

car($\mathbb{R}$), soit $0$. Le degré du polynôme minimal. $1$.

Question 7 : L’anneau $A = \mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ est-il un anneau intègre ? Et quelle est sa caractéristique ?

Intègre ; caractéristique $6$. Non intègre ; caractéristique $0$. Non intègre ; caractéristique $6$.

Question 8 : Si $A$ et $B$ sont deux anneaux de caractéristiques positives, quelle est la caractéristique de l’anneau produit $A \times B$ ?

Le Produit des deux caractéristiques : $\text{car}(A) \cdot \text{car}(B)$. Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des deux caractéristiques. Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des deux caractéristiques.

Question 9 : Si $\text{car}(A) = 0$, à quel anneau est isomorphe le plus petit sous-anneau unitaire de $A$ (le sous-anneau engendré par $1_A$) ?

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p$ premier). $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Q}$.

Question 10 : Quel est l’idéal engendré par l’homomorphisme caractéristique $\varphi: \mathbb{Z} \to A$ si $\text{car}(A) = n > 0$ ?

Le noyau $\text{Ker}(\varphi)$ est $\langle n \rangle$. L’image $\text{Im}(\varphi)$ est $\langle n \rangle$. Le noyau $\text{Ker}(\varphi)$ est $\langle 1 \rangle$.

Quiz terminé !

Félicitations pour avoir testé vos connaissances sur la caractéristique d’un anneau.

Points clés à retenir :

$\text{car}(A) = 0$ pour les corps $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ et l’anneau $\mathbb{Z}$.
$\text{car}(A) = p$ (où $p$ est premier) pour tout corps fini.
Un anneau $A$ intègre a une caractéristique qui est soit $0$ soit un nombre premier.

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