Test : Construction à la règle et au compas (Lien)

Ce quiz explore le lien fondamental entre la **Géométrie Euclidienne** (constructions à la règle et au compas, ou RCC) et l’**Algèbre des Corps**.

Rappel : Un point ou une longueur est constructible à partir de $\mathbb{Q}$ si son corps d’extension $K$ vérifie une condition très stricte sur son degré.

Question 1 : Si un point de coordonnées $(x, y)$ est constructible à la règle et au compas à partir de $\mathbb{Q}$, alors $x$ et $y$ sont des nombres :

Algébriques. Transcendants. Rationnels.

Question 2 : La condition nécessaire et suffisante pour qu’une longueur $l$ soit constructible à la règle et au compas est que le degré de l’extension $\mathbb{Q}(l)/\mathbb{Q}$ soit :

Un nombre pair. Une puissance de $2$ ($2^n$, $n \ge 0$). Un nombre premier $p$.

Question 3 : La célèbre impossibilité de la **Duplication du cube** (construire un cube de volume double) découle du fait que l’on devrait pouvoir construire $\sqrt[3]{2}$, dont le polynôme minimal $X^3 – 2$ a un degré :

$2$. $3$. $4$.

Question 4 : Pourquoi la **Trisection de l’angle** (diviser un angle général en trois parties égales) est-elle impossible à la règle et au compas ?

L’équation associée mène souvent à une extension de degré $3$. Il faudrait utiliser des nombres transcendants. Le problème est équivalent à la quadrature du cercle.

Question 5 : Laquelle de ces opérations n’est **pas** réalisable à la règle et au compas ?

Construire la somme et le produit de deux longueurs. Construire la racine carrée d’une longueur donnée. Construire la racine cubique d’une longueur donnée.

Question 6 : Si $[K:k] = 4$ et $k$ est le corps de base $\mathbb{Q}$, l’extension $K/k$ est-elle nécessairement constructible ?

Oui, car $4$ est une puissance de $2$. Non, la condition $2^n$ est nécessaire mais pas suffisante. Non, car l’extension est forcément transcendante.

Question 7 : La **Quadrature du cercle** (construire un carré d’aire égale à celle d’un cercle donné) est impossible car la longueur $\sqrt{\pi}$ (nécessaire à la construction) est :

Algébrique. Transcendente. De degré $2$.

Question 8 : Le processus de construction à la règle et au compas correspond algébriquement à l’adjonction répétée de :

Racines d’équations cubiques. Racines carrées. Éléments transcendants.

Question 9 : Peut-on construire un polygone régulier à $n$ côtés à la règle et au compas si $n=7$ ?

Oui, car 7 est un nombre premier. Non, car le degré de l’extension est $6$, qui n’est pas une puissance de $2$. Oui, car $\cos(2\pi/7)$ est algébrique.

Question 10 : Quelle est la conséquence la plus importante du lien entre la théorie des corps et la construction RCC ?

Cela prouve que tous les nombres irrationnels sont constructibles. Cela permet de résoudre toutes les équations polynomiales. Cela permet de prouver l’impossibilité de certaines constructions géométriques antiques.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé le lien puissant entre l’algèbre des corps et les constructions à la règle et au compas.

Points clés à retenir :

Les nombres constructibles doivent être algébriques.
Le degré de l’extension doit être une puissance de 2.
Ce lien a permis de prouver l’impossibilité des trois grands problèmes antiques (Duplication du cube, Trisection de l’angle et Quadrature du cercle).

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