Quizz : Déterminant et opérations sur les lignes 

Quiz : Déterminant et Opérations sur les Lignes

Effet des Opérations Élémentaires de Gauss sur $\det(A)$

Les opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) modifient le déterminant de $A$ de manière prédictible, ce qui est essentiel pour la méthode de Gauss.

  • $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$: $\det$ est **inchangé**.
  • $L_i \leftrightarrow L_j$: $\det$ est multiplié par **$-1$**.
  • $L_i \leftarrow \lambda L_i$ ($\lambda \ne 0$): $\det$ est multiplié par **$\lambda$**.

1. Quelle opération sur les lignes ne modifie **jamais** la valeur du déterminant ?

2. Si la matrice $B$ est obtenue à partir de $A$ en multipliant la ligne $L_2$ par $5$, quelle est la relation entre leurs déterminants ?

3. Si la matrice $B$ est obtenue à partir de $A$ par l’échange des lignes $L_1$ et $L_3$, quelle est la relation entre leurs déterminants ?

4. Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ avec $\det(A) = 10$. Si $B$ est obtenue par $L_1 \leftarrow L_1 – 2 L_3$, que vaut $\det(B)$ ?

5. Si $\det(A) = 4$ et que la matrice $B$ est obtenue en faisant $L_1 \leftarrow 3 L_1$ puis en échangeant $L_1$ et $L_2$, que vaut $\det(B)$ ?