Quizz : Déterminer les sous-espaces propres

1. Le sous-espace propre $E_{\lambda}$ associé à une valeur propre $\lambda$ est défini comme :

Le noyau de la matrice $A$. L’image de la matrice $(A – \lambda I)$. L’ensemble des vecteurs $\vec{v}$ tels que $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ (y compris $\vec{v} = \vec{0}$). Le système linéaire $A\vec{x} = \vec{0}$.

2. Pour déterminer $E_{\lambda}$, on doit résoudre quel système linéaire ?

$A\vec{x} = \vec{b}$ $(A – \lambda I)\vec{x} = \vec{b}$ $(A – \lambda I)\vec{x} = \vec{0}$ $A\vec{x} = \vec{0}$

3. Comment appelle-t-on la dimension du sous-espace propre $E_{\lambda}$ ?

La multiplicité algébrique de $\lambda$. La nullité de la matrice $A$. La multiplicité géométrique de $\lambda$. Le rang de la matrice $A$.

4. Pour une matrice $3 \times 3$, si $\lambda$ est une valeur propre simple (multiplicité algébrique 1), alors $\dim(E_{\lambda})$ doit être :

0 2 1 3

5. Si $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $E_{2}$ est :

L’espace engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Le vecteur nul uniquement $\{\vec{0}\} $. L’espace entier $\mathbb{R}^2$. La droite $x=y$ dans $\mathbb{R}^2$.

Quiz : Déterminer les Sous-Espaces Propres ($E_{\lambda}$)

L’Espace Propre comme Noyau

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