Quiz : Diviseurs de zéro et anneaux intègres

Un diviseur de zéro est un élément non nul $a$ tel qu’il existe $b \ne 0$ vérifiant $a \cdot b = 0$.

Un Anneau Intègre est un anneau commutatif unitaire sans diviseurs de zéro non nuls.

Question 1 : Un élément non nul $a$ d’un anneau $A$ est appelé diviseur de zéro si…

Il n’admet pas d’inverse multiplicatif. Il existe un autre élément non nul $b \in A$ tel que $a \cdot b = 0$. Il est égal à lui-même lorsque multiplié par $1_A$. Il est l’élément neutre de l’addition.

Question 2 : Un anneau commutatif unitaire $A$ est un Anneau Intègre si et seulement si…

Il est infini. Il ne possède aucun diviseur de zéro non nul. Tout élément non nul est inversible. Il est cyclique pour l’addition.

Question 3 : Lequel de ces anneaux possède des diviseurs de zéro ?

$(\mathbb{Z}, +, \times)$ $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +, \times)$ $(\mathbb{R}, +, \times)$ L’anneau des polynômes $\mathbb{R}[X]$.

Question 4 : Un Corps (Field) $K$ est-il toujours un Anneau Intègre ?

Non, seulement si $K$ est fini. Oui, car tout élément non nul étant inversible, il ne peut y avoir de diviseurs de zéro. Oui, seulement si $K$ est commutatif. Non, un corps est plus général qu’un anneau intègre.

Question 5 : Dans un anneau intègre $A$, l’équation $a x = a y$ avec $a \ne 0$ implique que $x = y$ (propriété de simplification).

Faux, la simplification n’est possible que dans un Corps. Vrai, car l’intégrité équivaut à l’absence de diviseurs de zéro. Faux, car $a$ n’est pas nécessairement inversible. Vrai, seulement si l’anneau est fini.

Question 6 : L’anneau des matrices $M_2(\mathbb{R})$ est-il un anneau intègre ?

Oui, car il est unitaire. Non, car il n’est pas commutatif. Non, car il possède des diviseurs de zéro. Oui, car $\mathbb{R}$ est un corps.

Question 7 : Si $n$ est un nombre composé, l’anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ possède-t-il des diviseurs de zéro ?

Non, car $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est toujours intègre. Oui, car si $n=a \cdot b$, alors $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}$ avec $\bar{a} \ne \bar{0}$ et $\bar{b} \ne \bar{0}$. Non, car il est fini. Oui, mais seulement si $n$ est pair.

Question 8 : Si $A$ est un anneau intègre fini, alors $A$ est nécessairement…

Un anneau intègre infini. Un Corps (Field). Un anneau non commutatif. L’anneau des polynômes $K[X]$.

Question 9 : L’anneau des polynômes à coefficients entiers $\mathbb{Z}[X]$ est-il un anneau intègre ?

Non, car les entiers $\mathbb{Z}$ ne forment pas un Corps. Oui, car il est commutatif, unitaire, et $\deg(P Q) = \deg(P) + \deg(Q)$. Non, car il est unitaire mais pas commutatif. Oui, car c’est un Corps.

Question 10 : Dans l’anneau $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, lequel de ces éléments est un diviseur de zéro ?

$\bar{1}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{7}$

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez maîtrisé les concepts cruciaux de diviseurs de zéro et d’anneaux intègres.

Points clés à retenir :

Un anneau intègre est un anneau unitaire et commutatif **sans** diviseurs de zéro.
Tout Corps est un Anneau Intègre.
Dans un anneau intègre, on peut simplifier par un élément non nul ($ax=ay \implies x=y$).

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