Quiz : Exemples d’anneaux ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $M_n(\mathbb{R})$)

Ce quiz teste les propriétés des anneaux classiques. Rappel :

**Anneau unitaire** : possède l’élément neutre multiplicatif $1_A$.
**Anneau intègre** : anneau commutatif unitaire sans diviseurs de zéro ($a \cdot b = 0 \implies a=0$ ou $b=0$).
**Corps (Field)** : anneau intègre où tout élément non nul est inversible.

Question 1 : L’ensemble $(\mathbb{Z}, +, \times)$, l’anneau des entiers, est-il un Corps (Field) ?

Oui, car il est unitaire et commutatif. Oui, car il n’a pas de diviseurs de zéro. Non, car les éléments comme $2$ n’ont pas d’inverse multiplicatif dans $\mathbb{Z}$. Non, car l’addition n’est pas un groupe.

Question 2 : Quelle condition distingue un Corps (Field) d’un Anneau Intègre commutatif ?

La loi de multiplication n’est pas associative. Il possède des diviseurs de zéro. L’addition n’est pas commutative. Tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.

Question 3 : L’anneau $M_2(\mathbb{R})$ (matrices $2 \times 2$ à coefficients réels) est-il un anneau commutatif ?

Oui, car $\mathbb{R}$ est un corps commutatif. Non, car la multiplication matricielle n’est généralement pas commutative. Oui, car il existe la matrice identité (unité). Non, car les matrices ne sont pas des nombres.

Question 4 : L’anneau $M_2(\mathbb{R})$ possède-t-il des diviseurs de zéro ?

Non, car les diviseurs de zéro sont impossibles dans les anneaux unitaires. Oui, par exemple des matrices non nulles $A$ et $B$ telles que $A B = 0$. Non, car les seuls anneaux avec diviseurs de zéro sont les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $n$ non premier. Oui, mais seulement si les matrices sont inversibles.

Question 5 : Pour quelle condition l’anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est-il un Corps (Field) ?

Quand $n$ est un multiple de 2. Quand $n$ est un nombre composé. Quand $n$ est un nombre premier. Pour tout $n \ge 1$.

Question 6 : L’ensemble $(\mathbb{Q}, +, \times)$ (rationnels) est-il un Corps (Field) ?

Non, car $(\mathbb{Q}, \times)$ n’est pas un groupe (l’inverse n’est pas toujours dans $\mathbb{Q}$). Oui, car il est un anneau intègre commutatif unitaire, et tout élément non nul est inversible. Oui, mais il n’est pas unitaire. Non, car il est infini.

Question 7 : Le sous-ensemble des nombres pairs $2\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Z}$. Est-il un anneau unitaire ?

Oui, l’unité de $\mathbb{Z}$ (qui est 1) est aussi l’unité de $2\mathbb{Z}$. Non, car $1 \notin 2\mathbb{Z}$. Oui, l’unité est $2$. Cela dépend de la loi de composition interne choisie.

Question 8 : L’anneau des polynômes $\mathbb{R}[X]$ est-il un anneau intègre ?

Non, car il existe des polynômes sans inverse multiplicatif. Oui, car le produit de deux polynômes non nuls est toujours un polynôme non nul. Non, car $\mathbb{R}[X]$ n’est pas commutatif. Oui, seulement si l’anneau de base $\mathbb{R}$ est un corps.

Question 9 : Quel est le zéro de l’anneau (l’élément neutre de l’addition) dans $M_2(\mathbb{R})$ ?

La matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Le scalaire $0$. La matrice nulle $0_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. La matrice non inversible $A$ telle que $\det(A)=0$.

Question 10 : Lequel de ces anneaux est un Anneau Intègre mais **PAS** un Corps (Field) ?

L’anneau $(\mathbb{Z}, +, \times)$. L’anneau $M_2(\mathbb{R})$. L’anneau $(\mathbb{Q}, +, \times)$. L’anneau $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.

Quiz terminé !

Félicitations ! Distinguer les propriétés des anneaux classiques comme $\mathbb{Z}$ (intègre, non corps), $\mathbb{Q}$ (corps), et $M_n(\mathbb{R})$ (non-commutatif, non intègre) est essentiel pour l’algèbre abstraite.

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