Quizz : Groupes produits (Ex: Z/2Z x Z/2Z)

Question 1 : Quel est l’ordre du groupe produit $G \times H$ si $G$ et $H$ sont deux groupes finis d’ordres respectifs $|G|=n$ et $|H|=m$ ?

$n+m$ $n \cdot m$ $\text{pgcd}(n, m)$ $\text{ppcm}(n, m)$

Question 2 : Soient $(G, *)$ d’élément neutre $e_G$ et $(H, \perp)$ d’élément neutre $e_H$. Quel est l’élément neutre du groupe produit $G \times H$ ?

$e_G * e_H$ $e_G$ $(e_G, e_H)$ $(g, h)$ pour tout $g \in G$ et $h \in H$

Question 3 : Le groupe produit $G \times H$ est commutatif (Abélien) si et seulement si…

Seulement $G$ est Abélien. Seulement $H$ est Abélien. $G$ et $H$ sont tous deux Abéliens. L’ordre de $G$ et $H$ est un nombre premier.

Question 4 : Soit $(g, h) \in G \times H$. Si $o(g)=n$ et $o(h)=m$, quel est l’ordre $o((g, h))$ de cet élément dans $G \times H$ ?

$n \cdot m$ $\text{ppcm}(n, m)$ $n+m$ $\text{pgcd}(n, m)$

Question 5 : À quel groupe connu est isomorphe le groupe produit $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +)$ ?

$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ $S_3$ $V_4$ (Groupe de Klein)

Question 6 : Dans le groupe produit $V_4 = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$, quel est l’ordre de l’élément $(\bar{1}, \bar{1})$ ?

1 2 3 4

Question 7 : Le groupe de Klein $V_4 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est-il cyclique ?

Oui, car il est d’ordre 4 et Abélien. Non, car $\text{pgcd}(2, 2) = 2 \ne 1$. Oui, il est engendré par $(\bar{1}, \bar{0})$ et $(\bar{0}, \bar{1})$. Cela dépend de la loi de composition interne choisie.

Question 8 : Quel est l’ordre maximum d’un élément dans le groupe produit $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ?

3 5 8 15

Question 9 : Pour tout $(g, h) \in G \times H$, quel est son inverse $(g, h)^{-1}$ ?

$(g, h)$ $(h, g)$ $(g^{-1}, h^{-1})$ $(e_G, e_H)$

Question 10 : Lequel de ces groupes est cyclique ?

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

Quiz : Groupes produits (Ex: $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$)

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