Quizz : Idéaux principaux (Anneau principal)

Question 1 : Dans un anneau commutatif $A$, un idéal $I$ est dit principal s’il peut être engendré par un seul élément $a \in A$. Quelle est la notation correcte pour un tel idéal ?

$I = \langle a \rangle$ ou $I = (a)$ $I = [a]$ ou $I = \{a\}$ $I = aA$ ou $I = A \cdot a$

Question 2 : Un anneau intègre $A$ est appelé Anneau Principal (ou Domaine Principal) si :

Tous ses idéaux sont maximaux. Tous ses idéaux sont premiers. Tous ses idéaux sont principaux.

Question 3 : L’anneau des entiers $\mathbb{Z}$ est-il un anneau principal ?

Non, seulement les idéaux engendrés par des nombres premiers sont principaux. Oui, car tout idéal de $\mathbb{Z}$ est de la forme $n\mathbb{Z}$. Oui, mais seulement si on considère l’anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Question 4 : Quel est l’idéal $\langle X \rangle$ engendré par l’élément $X$ dans l’anneau des polynômes $\mathbb{Q}[X]$ ?

Tous les polynômes constants de $\mathbb{Q}[X]$. L’ensemble des polynômes $P(X)$ tels que $P(0)=0$. L’ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{Q}$ de degré $\geq 1$.

Question 5 : L’anneau des polynômes à coefficients réels $\mathbb{R}[X]$ est-il un anneau principal ?

Non, seuls les corps comme $\mathbb{R}$ sont principaux. Oui, car $\mathbb{R}$ est un corps, et tout anneau de polynômes sur un corps est euclidien, donc principal. Non, car il existe des polynômes irréductibles de degré 2.

Question 6 : L’anneau des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ est-il principal ?

Non, c’est un anneau de factorisation unique (UFD) qui n’est pas principal. Oui, c’est un anneau euclidien, et tout anneau euclidien est principal. Non, car l’idéal $\langle 2, 1+i \rangle$ ne peut être engendré par un seul élément.

Question 7 : Dans la hiérarchie des anneaux, quelle implication est **toujours** vraie ? (PID = Principal Ideal Domain, UFD = Unique Factorization Domain, ED = Euclidean Domain)

PID $\implies$ ED UFD $\implies$ PID ED $\implies$ PID

Question 8 : Considérez l’anneau $\mathbb{Z}[X]$ (polynômes à coefficients entiers). Est-ce un anneau principal ?

Oui, car $\mathbb{Z}$ est un PID, donc $\mathbb{Z}[X]$ l’est aussi. Non, car l’idéal $\langle 2, X \rangle$ (engendré par 2 et $X$) n’est pas principal. Oui, tous les idéaux sont de la forme $\langle P(X) \rangle$ où $P(X)$ est un polynôme irréductible.

Question 9 : Soit $A$ un anneau principal (PID). Si l’on a l’inclusion d’idéaux $\langle a \rangle \subseteq \langle b \rangle$, quelle relation de divisibilité entre $a$ et $b$ cela implique-t-il ?

$a$ divise $b$. $b$ divise $a$. $a$ et $b$ sont des unités.

Question 10 : Si $A$ est un anneau principal (PID), alors tout idéal premier non nul est :

Maximal. Simplement principal, mais pas nécessairement maximal. Nécessairement de la forme $\langle p \rangle$ où $p$ est une unité.

Quiz : Idéaux Principaux et Anneaux Principaux (PID)

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