Quizz : Polynôme minimal (Définition)

Le Polynôme Minimal $\mu_A(X)$

Le polynôme minimal d’une matrice $A$ est le polynôme unitaire $P$ de plus petit degré tel que $P(A) = 0$ (la matrice nulle). Il contient des informations essentielles sur la structure de $A$.

1. Quelle est la propriété fondamentale du polynôme minimal $\mu_A(X)$ ?

$\mu_A(X)$ est le polynôme caractéristique $P_A(X)$. $\mu_A(A) = I_n$ (matrice identité). $\mu_A(A) = 0$ (matrice nulle) et il est de plus petit degré possible. Il n’a que des racines simples.

2. Quel polynôme divise toujours le polynôme caractéristique $P_A(X)$ ?

Le déterminant de $A$. Le polynôme minimal $\mu_A(X)$. $X – \lambda$, où $\lambda$ est une valeur propre. Le polynôme des cofacteurs.

3. Quelles sont les racines du polynôme minimal $\mu_A(X)$ ?

Seulement les valeurs propres simples. Les mêmes que les racines du polynôme caractéristique, mais avec des ordres de multiplicité différents. Tous les nombres complexes. Uniquement 0 si la matrice est non inversible.

4. Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal $\mu_A(X)$…

…a un degré égal à $n$ (la taille de $A$). …est le polynôme $X^n – 1$. …est scindé et n’a que des racines simples (sans multiplicité). …est égal au polynôme caractéristique $P_A(X)$.

5. Quel est le degré maximal possible pour le polynôme minimal d’une matrice $n \times n$ ?

$n$ $n-1$ $2n$ Le nombre de valeurs propres distinctes.

Quiz : Polynôme Minimal (Définition et Propriétés)

Le Polynôme Minimal $\mu_A(X)$

Conclusion