Quizz : Polynôme minimal d’un élément algébrique

Question 1 : Si $\alpha$ est un élément algébrique sur $K$, le polynôme minimal $P_{\min}(X)$ est l’unique polynôme annulateur qui est :

De plus grand degré. Unitaire et de plus petit degré. Non unitaire et réductible.

Question 2 : Le degré du polynôme minimal $\deg(P_{\min})$ est égal à :

L’ordre de l’extension $[K(\alpha):K]$. L’ordre du groupe de Galois de $K(\alpha)/K$. $1$.

Question 3 : La propriété principale du polynôme minimal est qu’il est toujours :

Divisible par tout autre polynôme annulateur de $\alpha$. Irreductible dans $K[X]$. De degré $1$.

Question 4 : Quel est le polynôme minimal $P_{\min}(X)$ de $i$ sur $\mathbb{R}$ ?

$X^4 – 1$. $X – i$. $X^2 + 1$.

Question 5 : Le corps de l’extension simple $K(\alpha)$ est isomorphe à quel anneau quotient ?

$K[X] / \langle X – \alpha \rangle$. $K[X] / \langle P_{\min}(X) \rangle$. $K[X] / \langle 0 \rangle$.

Question 6 : Si un élément $\alpha \in K$ est déjà dans le corps de base $K$, quel est son polynôme minimal sur $K$ ?

$X^2 – \alpha^2$. $X – \alpha$. $1$.

Question 7 : Quel est le degré de l’extension $\mathbb{Q}(\sqrt{3}) / \mathbb{Q}$ ?

$1$. $2$. $3$.

Question 8 : Le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$ est-il toujours irréductible dans $K[X]$ ?

Oui, par définition et unicité du polynôme minimal. Non, seulement s’il est de degré $2$ ou $3$. Non, il doit seulement être annulateur.

Question 9 : Quel est le polynôme minimal de $\sqrt[3]{2}$ sur $\mathbb{Q}$ ?

$X^2 – 2$. $X^3 – 2$. $(X – \sqrt[3]{2})(X^2 + \sqrt[3]{2}X + (\sqrt[3]{2})^2)$.

Question 10 : Si $\alpha$ est transcendant sur $K$, le polynôme minimal $P_{\min}(\alpha)$ est défini comme :

Le polynôme nul $0$. Non défini. Un polynôme de degré infini.

Test : Polynôme minimal d’un élément algébrique