Quizz : Procédé de Gram-Schmidt (Application)

Orthogonalisation et Normalisation

Le procédé de Gram-Schmidt est un algorithme qui permet de construire une base orthogonale (ou orthonormale) à partir d’une base (ou famille libre) quelconque d’un espace euclidien.

1. Quel est l’objectif principal du procédé de Gram-Schmidt sur une base donnée $\mathcal{B} = (\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$ d’un espace euclidien ?

Calculer le déterminant de la matrice de la base. La transformer en une base orthonormale. Trouver les valeurs propres de la matrice des vecteurs. Simplifier la matrice pour la rendre triangulaire.

2. La formule pour la projection du vecteur $\mathbf{v}_2$ sur le vecteur orthogonal $\mathbf{u}_1$ est $\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2)$. Quelle est la formule correcte ?

$\frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1$ $\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle \mathbf{u}_1$ $\frac{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1$ $\frac{\|\mathbf{v}_2\|}{\|\mathbf{u}_1\|} \mathbf{u}_1$

3. Soit $\mathcal{B} = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)$ la base de départ. Quel est le premier vecteur $\mathbf{u}_1$ de la base orthogonale construite par Gram-Schmidt ?

$\mathbf{u}_1$ est la projection de $\mathbf{v}_2$ sur $\mathbf{v}_1$. $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$. $\mathbf{u}_1$ est $\mathbf{v}_1$ normalisé. $\mathbf{u}_1$ est le vecteur nul.

4. Une fois le vecteur orthogonal $\mathbf{u}_k$ obtenu, quelle opération est nécessaire pour obtenir le vecteur unitaire $\mathbf{e}_k$ de la base orthonormale ?

$\mathbf{e}_k = \mathbf{u}_k + \mathbf{u}_{k-1}$ $\mathbf{e}_k = \|\mathbf{u}_k\| \mathbf{u}_k$ $\mathbf{e}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}$ $\mathbf{e}_k = \mathbf{u}_k – \mathbf{u}_{k-1}$

5. Soient $\mathbf{u}_1$ et $\mathbf{u}_2$ les deux premiers vecteurs générés par Gram-Schmidt. Quelle propriété vérifient-ils nécessairement ?

$\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_2$. $\|\mathbf{u}_1\| = \|\mathbf{u}_2\| = 1$. $\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \rangle = 0$. $\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$.

Quiz : Procédé de Gram-Schmidt (Application)

Orthogonalisation et Normalisation

Conclusion