Quizz : Projections et symétries (Propriétés) 

Quiz : Projections et Symétries

Propriétés des Endomorphismes Particuliers

Ce quiz teste votre connaissance des propriétés algébriques fondamentales qui définissent une projection et une symétrie dans un espace vectoriel $E$.

  • **Projection $p$ :** $p$ est une projection si et seulement si $p^2 = p$.
  • **Symétrie $s$ :** $s$ est une symétrie si et seulement si $s^2 = \text{id}_E$.

1. Si $p: E \to E$ est un endomorphisme, la condition nécessaire et suffisante pour que $p$ soit une **projection** est :

2. Si $s: E \to E$ est un endomorphisme, la condition nécessaire et suffisante pour que $s$ soit une **symétrie** est :

3. Si $p$ est une projection, quelle est l’expression de la symétrie $s$ associée (par rapport à $\text{Im}(p)$ parallèlement à $\text{Ker}(p)$) ?

4. Si $p$ est une projection, quelle relation existe toujours entre son noyau $\text{Ker}(p)$ et son image $\text{Im}(p)$ ?

5. Si $s$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$, l’ensemble des vecteurs invariants (tels que $s(\vec{u}) = \vec{u}$) est exactement :