Quizz : Qu’est-ce qu’un isomorphisme d’espaces vectoriels ?

1. Qu’est-ce qu’un isomorphisme d’espaces vectoriels $f: E \to F$ ?

Une application linéaire injective. Une application linéaire surjective. Une application linéaire qui est à la fois injective et surjective (bijective).

2. Si $f: E \to F$ est un isomorphisme, quelle relation est toujours vraie concernant les dimensions des espaces ?

$\dim(E) < \dim(F)$ $\dim(E) = \dim(F)$ $\dim(E) > \dim(F)$

3. Quelle propriété est la conséquence directe de l’injectivité d’un isomorphisme $f$ ?

Le rang de $f$ est égal à $\dim(F)$. L’image $\text{Im}(f)$ est égale à $F$. Le noyau $\text{Ker}(f)$ est réduit au vecteur nul.

4. Si $E$ et $F$ sont isomorphes, on peut dire qu’ils ont la même $\dots$

Base. Dimension. Matrice associée à $f$.

5. L’application identité $\text{id}_E: E \to E$, définie par $\text{id}_E(\vec{u}) = \vec{u}$, est-elle un isomorphisme ?

Non, car elle n’envoie pas $E$ sur un espace différent $F$. Oui, car elle est linéaire, injective et surjective. Non, car $\text{Ker}(\text{id}_E) = E$.

Quiz : Qu’est-ce qu’un Isomorphisme d’Espaces Vectoriels ?

Définition de l’Isomorphisme

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