Quizz : Qu’est-ce qu’un système de Cramer ?

1. Un système linéaire $A\vec{x} = \vec{b}$ est un système de Cramer si et seulement si :

Il est compatible et $\det(A) = 0$. $A$ est carrée et $\det(A) \ne 0$. Il est homogène ($\vec{b} = \vec{0}$) et $A$ est carrée. Le rang de $A$ est strictement inférieur au nombre d’inconnues.

2. Si un système est de Cramer, que peut-on dire de sa solution ?

Il n’y a pas de solution. Il y a une infinité de solutions. Il y a une solution unique. La solution est toujours $\vec{x} = \vec{0}$.

3. Si $A$ est une matrice $n \times n$, être un système de Cramer est équivalent à :

$\text{rg}(A) < n$ $\text{rg}(A) = n$ $\text{rg}(A)$ est égal au nombre d’équations. $\text{rg}(A)$ est égal au rang de la matrice augmentée.

4. Si $A\vec{x} = \vec{b}$ est un système de Cramer, sa solution $\vec{x}$ peut être calculée directement par :

$\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ $\vec{x} = \vec{b} A^{-1}$ $\vec{x} = \vec{b} / \det(A)$ $\vec{x} = A \vec{b}$

5. Si $A\vec{x} = \vec{0}$ est un système de Cramer (homogène), que vaut nécessairement la solution unique ?

$\vec{x} = \vec{b}$ $\vec{x}$ est une variable libre. $\vec{x} = \vec{0}$ $\vec{x}$ est un vecteur non nul.

Quiz : Qu’est-ce qu’un Système de Cramer ?

Définition du Système de Cramer

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