Quizz : Qu’est-ce qu’une famille orthogonale ?

La Base de la Géométrie Euclidienne

Une famille de vecteurs est orthogonale si tous les vecteurs de la famille sont deux à deux perpendiculaires. Cette propriété simplifie énormément les calculs et garantit l’indépendance linéaire des vecteurs non nuls.

1. Une famille $(\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k)$ est orthogonale si :

Tous les vecteurs sont de norme 1. La somme des vecteurs est nulle. $\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle = 0$ pour tout $i$. $\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = 0$ pour tout $i \neq j$.

2. Vrai ou Faux : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est linéairement indépendante (libre).

Vrai Faux

3. Une famille est orthonormée si elle est orthogonale et :

Composée de vecteurs propres. Tous les vecteurs sont unitaires (norme 1). La somme des carrés des normes vaut 1. Elle contient le vecteur nul.

4. Soit la famille orthogonale $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)$. Si $\|\mathbf{v}_1\|=2$ et $\|\mathbf{v}_2\|=3$, que vaut $\langle \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 – \mathbf{v}_2 \rangle$ ?

0 -5 13 5

5. Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de transformer une base quelconque en :

Une base colinéaire. Une base de vecteurs propres. Une base orthonormée. Une base symétrique.

Quiz : Qu’est-ce qu’une famille orthogonale ?

La Base de la Géométrie Euclidienne

Conclusion