Quizz : Qu’est-ce qu’une matrice nilpotente ? 

Quiz : Qu’est-ce qu’une matrice nilpotente ?

L’Annihilation par Puissance

Une matrice $N$ est dite nilpotente s’il existe un entier $k \ge 1$ tel que la puissance $k$-ième de $N$ soit égale à la matrice nulle :

$$ N^k = 0 $$

Le plus petit entier $k$ vérifiant cette propriété est appelé l’indice de nilpotence.

1. Si $N$ est nilpotente d’indice $k$, que peut-on dire de $N^p$ pour tout $p \ge k$ ?

2. Quel est l’ensemble de toutes les valeurs propres possibles d’une matrice nilpotente $N$ ?

3. Une matrice nilpotente $N$ de taille $n \times n$ est diagonalisable si et seulement si :

4. Si $N$ est une matrice nilpotente d’indice $k$, quel est son polynôme minimal $\mu_N(X)$ ?

5. Quel est le degré maximal possible pour le polynôme minimal $\mu_N(X)$ d’une matrice nilpotente $N$ de taille $n \times n$ ?