Quizz : Résolution de systèmes différentiels linéaires

Le système $\mathbf{X}'(t) = A\mathbf{X}(t)$

Un système différentiel linéaire homogène se résout en utilisant la matrice du système $A$ et ses propriétés (valeurs et vecteurs propres). La solution générale est de la forme $\mathbf{X}(t) = c_1 \mathbf{X}_1(t) + c_2 \mathbf{X}_2(t) + \dots$

1. Si $A$ est une matrice $2 \times 2$ diagonalisable avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2$ et des vecteurs propres $v_1, v_2$, quelle est la forme de la solution générale $\mathbf{X}(t)$ ?

$\mathbf{X}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}$ $\mathbf{X}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}$ $\mathbf{X}(t) = (c_1 v_1 + c_2 v_2) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)t}$ $\mathbf{X}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 t e^{\lambda_2 t}$

2. Pour le système différentiel suivant : $\begin{cases} x’ = 3x + 2y \\ y’ = -x + 4y \end{cases}$, quelle est la matrice $A$ telle que $\mathbf{X}’ = A\mathbf{X}$ ?

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

3. Soit $\mathbf{X}(t)$ un vecteur solution du système $\mathbf{X}’ = A\mathbf{X}$. Quelle propriété $\mathbf{X}(t)$ doit-il satisfaire pour *tous* les temps $t$ ?

$\mathbf{X}(t)$ est orthogonal à $A\mathbf{X}(t)$. $\mathbf{X}(t)$ est un vecteur constant. La dérivée de $\mathbf{X}(t)$ par rapport à $t$ doit être égale à $A$ multipliée par $\mathbf{X}(t)$. $\mathbf{X}(t)$ doit être un vecteur propre de $A$.

4. Si $A$ est non diagonalisable avec une valeur propre $\lambda$ double, la deuxième solution indépendante $\mathbf{X}_2(t)$ est typiquement de la forme $\mathbf{X}_2(t) = e^{\lambda t} (\mathbf{w} + t\mathbf{v})$. Quel est le statut du vecteur $\mathbf{w}$ ?

$\mathbf{w}$ est le deuxième vecteur propre. $\mathbf{w}$ est le vecteur propre généralisé qui résout $(A – \lambda I)\mathbf{w} = \mathbf{v}$. $\mathbf{w}$ est un vecteur aléatoire. $\mathbf{w} = \mathbf{0}$ (le vecteur nul).

5. Si la matrice $A$ d’un système réel a une paire de valeurs propres complexes conjuguées $\lambda = \alpha \pm i\beta$, quelle est la structure des solutions réelles indépendantes ?

Une combinaison linéaire d’exponentielles complexes. Une combinaison linéaire de $e^{\alpha t} \cos(\beta t)$ et $e^{\alpha t} \sin(\beta t)$. Une solution uniquement polynomiale. Une solution uniquement constante.

Quiz : Résolution de systèmes différentiels linéaires

Le système $\mathbf{X}'(t) = A\mathbf{X}(t)$

Conclusion