Test : Somme Directe de Sous-Espaces Vectoriels (Caractérisation)

Ce quiz se concentre sur les conditions pour qu’une somme de sous-espaces $F+G$ soit une **somme directe**, notée $F \oplus G$.

Rappel : La somme $F+G$ est directe si et seulement si l’intersection $F \cap G$ est l’espace nul $\{\vec{0}\}$.

Question 1 : La condition nécessaire et suffisante pour que $F+G$ soit une somme directe ($F \oplus G$) est que l’intersection des deux sous-espaces soit :

L’espace tout entier $E$. L’espace nul : $F \cap G = \{\vec{0}\}$. Un sous-espace de dimension $1$.

Question 2 : Si la somme $F+G$ est directe, cela garantit que la décomposition de tout vecteur $\vec{v} \in F \oplus G$ en $\vec{v} = \vec{f} + \vec{g}$ est :

Unique. Non unique. Nécessairement nulle.

Question 3 : Dans $\mathbb{R}^2$, si $F$ est l’axe des abscisses ($\text{Vect}((1, 0))$) et $G$ est l’axe des ordonnées ($\text{Vect}((0, 1))$), leur somme est :

Une somme simple $F+G$ mais pas directe. Une somme directe $F \oplus G$ qui est égale à $\mathbb{R}^2$. Un sous-espace de dimension $1$.

Question 4 : Si $F \oplus G$, la formule de dimension $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$ se simplifie en :

$\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G)$. $\dim(F+G) = \dim(F) \cdot \dim(G)$. $\dim(F+G) = \dim(E)$.

Question 5 : Soit $F$ et $G$ deux droites vectorielles distinctes dans $\mathbb{R}^2$. Leur intersection $F \cap G$ est nécessairement :

Une droite de dimension $1$. L’ensemble vide $\emptyset$. Le vecteur nul $\{\vec{0}\}$.

Question 6 : Soit $E = \mathbb{R}^3$. $F$ est le plan $x+y+z=0$ (dim 2) et $G$ est la droite $\text{Vect}((1, 1, 1))$ (dim 1). Est-ce que $E = F \oplus G$ ?

Non, car le vecteur de $G$ est dans $F$. Oui, car la somme des dimensions est $2+1=3$ et $F \cap G = \{\vec{0}\}$. Non, car $F$ et $G$ doivent être orthogonaux pour être supplémentaires.

Question 7 : Si la famille $S_F \cup S_G$ (où $S_F$ est base de $F$ et $S_G$ est base de $G$) est **liée**, que peut-on dire de la somme $F+G$ ?

Elle n’est pas directe. Elle est toujours directe. Elle est égale à $E$.

Question 8 : Si $\dim(F) = 3$ et $\dim(G) = 4$ dans un espace $E$ de $\dim(E) = 5$, est-ce que $F+G$ peut être une somme directe ?

Oui, car $3+4 > 5$. Non, car l’intersection $F \cap G$ ne peut pas être réduite à $\{\vec{0}\}$. Oui, si $F$ et $G$ sont des sous-espaces orthogonaux.

Question 9 : Soit $F$ un SEV. $G$ est un **supplémentaire** de $F$ dans $E$ si :

$F \cap G = \{\vec{0}\}$. $F+G = E$ et $F \cap G = \{\vec{0}\}$. $\dim(F) + \dim(G) = \dim(E)$.

Question 10 : Si $\vec{v} = \vec{f}_1 + \vec{g}_1$ et $\vec{v} = \vec{f}_2 + \vec{g}_2$ sont deux décompositions d’un vecteur $\vec{v} \in F+G$, alors la somme n’est pas directe si :

$\vec{f}_1 = \vec{f}_2$ et $\vec{g}_1 = \vec{g}_2$. $\vec{f}_1 \ne \vec{f}_2$ ou $\vec{g}_1 \ne \vec{g}_2$. $\vec{f}_1 + \vec{g}_1 = \vec{f}_2 + \vec{g}_2$.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé la caractérisation de la somme directe.

Points clés à retenir :

$\text{Somme Directe} \iff F \cap G = \{\vec{0}\}$.
La décomposition est unique dans une somme directe.
La somme des dimensions est égale à la dimension de la somme : $\dim(F \oplus G) = \dim(F) + \dim(G)$.

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