Quiz : Théorème Fondamental de l’Algèbre

Quizz : Théorème fondamental de l’algèbre

Bienvenue dans ce quiz sur le Théorème Fondamental de l’Algèbre (TFA) ! Ce théorème porte bien son nom, car il constitue la pierre angulaire de l’algèbre des polynômes. Il a été prouvé pour la première fois rigoureusement par Gauss.

Que dit-il ? Essentiellement, il garantit que toute équation polynomiale non constante a au moins une solution, à condition d’élargir notre champ de vision aux nombres complexes (\(\mathbb{C}\)).

Une conséquence directe, et la plus utilisée en classe, est qu’un polynôme de degré \(n\) (avec \(n \ge 1\)) possède exactement \(n\) racines dans l’ensemble des nombres complexes, si l’on compte chaque racine avec sa multiplicité. Ce quiz va tester votre compréhension de ce théorème et de ses implications cruciales.

Question 1 : Selon le TFA, un polynôme de degré \(n \ge 1\) a…

Au moins \(n\) racines réelles. Exactement \(n\) racines complexes (avec multiplicité). Au plus \(n\) racines complexes.

Question 2 : Combien de racines, comptées avec multiplicité, le polynôme \(P(x) = 3x^5 – 2x^2 + 7x – 1\) possède-t-il dans \(\mathbb{C}\) ?

5 Impossible à dire sans le résoudre. Au plus 5.

Question 3 : Combien de racines le polynôme \(P(x) = 12\) possède-t-il ?

1 12 0

Question 4 : Le TFA garantit des racines dans quel ensemble de nombres ?

Les nombres réels (\(\mathbb{R}\)) Les nombres rationnels (\(\mathbb{Q}\)) Les nombres complexes (\(\mathbb{C}\))

Question 5 : Si un polynôme à coefficients réels a \(3 – i\) comme racine, quelle autre racine doit-il obligatoirement avoir ?

\(3 + i\) \(-3 – i\) On ne peut pas savoir.

Question 6 : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a pour racines \(x=1\) et \(x=2i\). Quelle est la troisième racine ?

\(-2i\) \(x=0\) \(x=2\)

Question 7 : Un polynôme de degré 5 à coefficients réels a au minimum combien de racines réelles ?

5 1 0

Question 8 : Un polynôme de degré 4 à coefficients réels a au minimum combien de racines réelles ?

2 1 0

Question 9 : Le polynôme \(P(x) = (x – 8)^4\) a…

1 seule racine (\(x=8\)). 4 racines (\(x=8\), de multiplicité 4). 4 racines (\(x=2, x=-2, x=2i, x=-2i\)).

Question 10 : Combien de racines le polynôme \(P(x) = x^3(x+1)^2\) possède-t-il au total (avec multiplicité) ?

2 5 6

Question 11 : Le TFA garantit que \(P(x) = x^2 + 9\) peut être factorisé. Quelle est sa factorisation dans \(\mathbb{C}\) ?

\((x – 3i)(x + 3i)\) \((x + 3)^2\) Non factorisable, même dans \(\mathbb{C}\).

Question 12 : Le TFA s’applique-t-il à l’équation \(x – \sin(x) = 0\) ?

Oui, elle doit avoir 1 racine. Non, car ce n’est pas un polynôme. Oui, mais seulement dans \(\mathbb{C}\).

Question 13 : Le « Théorème de la racine conjuguée » (si \(a+bi\) est racine, \(a-bi\) l’est aussi) s’applique…

À tous les polynômes. Seulement aux polynômes à coefficients réels. Seulement aux polynômes de degré pair.

Question 14 : Le TFA garantit qu’un polynôme de degré \(n\) peut être factorisé en…

\(n\) facteurs linéaires (du type \((x-a)\)) dans \(\mathbb{C}\). \(n\) facteurs linéaires dans \(\mathbb{R}\). \(n\) facteurs quadratiques (du type \(x^2+c\)).

Question 15 : L’équation \(x^4 = -1\) a…

Aucune solution (une puissance 4 ne peut être négative). 2 solutions réelles. 4 solutions complexes.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez exploré les concepts du Théorème Fondamental de l’Algèbre. C’est un théorème d’existence : il ne vous donne pas *comment* trouver les racines, mais il vous *garantit* qu’elles existent et vous dit *combien* elles sont.

Ce théorème est la raison pour laquelle les nombres complexes sont si importants. Ils « complètent » l’algèbre. Dans l’univers des nombres réels, \(x^2 + 1 = 0\) n’a pas de solution. Dans l’univers des nombres complexes, le TFA nous assure qu’il y en a exactement deux (\(i\) et \(-i\)).

Les conséquences que vous avez vues (le théorème des racines conjuguées, le fait qu’un polynôme de degré impair ait au moins une racine réelle) découlent toutes de ce pilier des mathématiques.

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