Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$. Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$, et notons $A$ et $B$ les matrices respectives de $f$ dans ces bases. Si $P$ est la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$, la formule de changement de base est $B = P^*AP$.
Puisque $P$ est une matrice de passage, elle est inversible, et son adjointe $P^*$ l’est également. La relation $B = P^*AP$ montre que les matrices $A$ et $B$ sont équivalentes. Par conséquent, elles ont le même rang.
Cette invariance du rang par changement de base justifie la définition suivante.
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$. On appelle rang de f, noté $rg(f)$, le rang de sa matrice représentative dans n’importe quelle base de $E$.