Recherche des Extrema Globaux : Méthode sur un Domaine Compact

Recherche des Extrema Globaux : Méthode sur un Domaine Compact

Recherche des Extrema Globaux

Alors que les extrémums locaux décrivent le comportement d’une fonction dans un petit voisinage, les extrémums globaux (ou absolus) représentent la plus grande et la plus petite valeur que la fonction atteint sur l’ensemble de son domaine d’étude. La recherche de ces extrémums est souvent le but final de l’optimisation.

1. Le Théorème Fondamental

La première question est de savoir si de tels extrémums globaux existent. Le théorème des bornes atteintes nous donne une condition suffisante très puissante.

Théorème des Bornes Atteintes (de Weierstrass)

Toute fonction continue sur un domaine compact (fermé et borné) de $\mathbb{R}^p$ est bornée et atteint ses bornes.
Autrement dit, si $f$ est continue et $D$ est un compact, alors il existe un minimum global et un maximum global de $f$ sur $D$.

[Image d’une surface définie sur un domaine compact]

Ce théorème garantit l’existence d’une solution à notre problème d’optimisation, à condition de travailler sur un domaine fermé et borné (un disque, un rectangle, etc.).

2. La Méthodologie de Recherche

Le théorème nous dit que les extrémums globaux existent. Pour les trouver, il faut comparer les valeurs de la fonction en tous les points qui sont des « candidats ». Ces candidats se trouvent à deux endroits possibles :

  1. À l’intérieur du domaine : ce sont les points critiques.
  2. Sur la frontière (le bord) du domaine.
Méthode en 3 Étapes sur un Compact D
  1. Recherche des points critiques à l’intérieur de D : On résout $\nabla f(x) = \vec{0}$ et on ne conserve que les solutions qui sont strictement à l’intérieur du domaine $D$. On calcule la valeur de $f$ en chacun de ces points.
  2. Étude de la fonction sur la frontière de D : On paramétrise la frontière (le bord) $\partial D$. Cela transforme le problème en un ou plusieurs problèmes d’optimisation en une dimension (plus simples). On trouve les extrémums de la fonction sur cette frontière.
  3. Comparaison : On dresse la liste de toutes les valeurs « candidates » trouvées aux étapes 1 et 2. La plus grande de ces valeurs est le maximum global, et la plus petite est le minimum global.

Exemple Complet

Trouver les extrémums globaux de la fonction $f(x,y) = x^2 + y^2 – xy + x + y$ sur le domaine carré $D = [-2, 2] \times [-2, 2]$.

  1. Points critiques à l’intérieur : $$ \nabla f(x,y) = (2x-y+1, 2y-x+1) = (0,0) $$ La résolution du système donne un unique point critique : $(-1, -1)$. Ce point est bien à l’intérieur du carré $D$.
    Valeur candidate : $f(-1,-1) = (-1)^2+(-1)^2 – (-1)(-1) – 1 – 1 = 1+1-1-1-1 = \mathbf{-1}$.
  2. Étude sur la frontière : La frontière est composée de 4 segments.
    • Bord inférieur ($y=-2$, $x \in [-2,2]$) : $g_1(x) = f(x,-2) = x^2+3x+2$. Le minimum est en $x=-3/2$. Candidats : $f(-2,-2)=0$, $f(2,-2)=12$, $f(-3/2, -2) = -1/4$.
    • Bord droit ($x=2$, $y \in [-2,2]$) : $g_2(y) = f(2,y) = y^2-y+6$. Le minimum est en $y=1/2$. Candidats : $f(2,-2)=12$, $f(2,2)=8$, $f(2,1/2) = 23/4 = 5.75$.
    • Bord supérieur ($y=2$, $x \in [-2,2]$) : $g_3(x) = f(x,2) = x^2-x+6$. Le minimum est en $x=1/2$. Candidats : $f(-2,2)=12$, $f(2,2)=8$, $f(1/2,2) = 23/4 = 5.75$.
    • Bord gauche ($x=-2$, $y \in [-2,2]$) : $g_4(y) = f(-2,y) = y^2+3y+2$. Le minimum est en $y=-3/2$. Candidats : $f(-2,-2)=0$, $f(-2,2)=12$, $f(-2,-3/2) = -1/4$.
  3. Comparaison : La liste de toutes les valeurs candidates est : $\{-1, 0, 12, -1/4, 8, 5.75\}$.
    • La plus petite valeur est -1. Le minimum global est donc -1, atteint au point critique $(-1,-1)$.
    • La plus grande valeur est 12. Le maximum global est donc 12, atteint aux points $(2,-2)$ et $(-2,2)$ sur la frontière.