Recherche des Points Critiques
La recherche des extrémums locaux d’une fonction différentiable commence invariablement par la même étape : l’identification de tous les points critiques. Ce sont les seuls points qui peuvent potentiellement être des minima ou des maxima locaux. Cette recherche transforme un problème d’analyse en un problème de résolution de système d’équations.
1. La Condition du Premier Ordre
La méthode est une application directe du théorème de Fermat, qui fournit la condition nécessaire d’optimalité.
Pour une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ différentiable, les points critiques sont les points $a \in U$ qui annulent le gradient de $f$. $$ \nabla f(a) = \vec{0} $$ Cela revient à trouver les solutions $(x_1, \dots, x_p)$ du système de $p$ équations à $p$ inconnues : $$ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_p) = 0 \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_p}(x_1, \dots, x_p) = 0 \end{cases} $$
2. Méthodologie de Résolution
- Calculer le Gradient : On calcule les expressions de toutes les dérivées partielles de la fonction $f$.
- Poser le Système : On écrit le système d’équations en égalant chaque dérivée partielle à zéro.
- Résoudre le Système : On utilise des techniques algébriques (substitution, combinaison, factorisation) pour trouver toutes les solutions réelles du système. Chaque solution est un point critique.
Exemple Détaillé
Trouver tous les points critiques de la fonction $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-y}$.
- Calculer le Gradient :
On utilise la règle du produit pour dériver.- $\frac{\partial f}{\partial x} = (2x)e^{-y} + (x^2+y^2)(0) = 2xe^{-y}$
- $\frac{\partial f}{\partial y} = (2y)e^{-y} + (x^2+y^2)(-e^{-y}) = (2y – x^2 – y^2)e^{-y}$
- Poser le Système :
On cherche les $(x,y)$ tels que $\nabla f(x,y) = (0,0)$. Comme $e^{-y}$ n’est jamais nul, on peut simplifier le système : $$ \begin{cases} 2x = 0 & (1) \\ 2y – x^2 – y^2 = 0 & (2) \end{cases} $$ - Résoudre le Système :
L’équation (1) est très simple et nous donne immédiatement $x=0$.
On reporte cette valeur dans l’équation (2) : $$ 2y – (0)^2 – y^2 = 0 \implies 2y – y^2 = 0 $$ On factorise : $$ y(2-y) = 0 $$ Cette équation a deux solutions : $y=0$ ou $y=2$.
On a donc deux points critiques :- Pour $x=0$ et $y=0$ : le point (0,0).
- Pour $x=0$ et $y=2$ : le point (0,2).
La fonction admet deux points critiques. L’étape suivante consisterait à calculer la matrice Hessienne et à l’évaluer en ces deux points pour déterminer s’il s’agit de minima, de maxima ou de points selles.