Relation d’Équivalence Compatible
Pour pouvoir « quotienter » une structure algébrique, c’est-à-dire définir une loi de composition sur l’ensemble des classes d’équivalence, il ne suffit pas d’avoir une relation d’équivalence. Il faut que cette relation « respecte » la loi de composition de l’ensemble. C’est la notion de compatibilité.
Soit $(E, \star)$ un magma et $\sim$ une relation d’équivalence sur $E$.
On dit que la relation $\sim$ est compatible avec la loi $\star$ si pour tous $x, y, x’, y’$ dans $E$ :
$$(x \sim x’ \text{ et } y \sim y’) \implies (x \star y \sim x’ \star y’)$$
Interprétation
Cette condition signifie que le résultat de la composition ne dépend pas des représentants choisis dans les classes d’équivalence. Si l’on prend deux éléments de la classe de $x$ et deux de la classe de $y$, leur composé sera toujours dans la même classe d’arrivée.
Grâce à cette compatibilité, on peut définir une loi quotient sur l’ensemble des classes d’équivalence $E/\sim$. Si $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont deux classes, on définit leur composition par : $$\bar{x} \ \bar{\star} \ \bar{y} = \overline{x \star y}$$ La compatibilité garantit que cette définition a bien un sens et ne dépend pas du choix de $x$ et $y$.
Si la loi $\star$ sur $E$ possède certaines propriétés (associativité, commutativité, élément neutre), alors la loi quotient $\bar{\star}$ sur $E/\sim$ hérite de ces mêmes propriétés.
Exemple Fondamental : La Congruence Modulo n
Considérons le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ et la relation de congruence modulo $n$ : $$x \sim y \iff x \equiv y \pmod{n} \iff (x-y) \text{ est un multiple de } n$$ Montrons que cette relation est compatible avec l’addition.
- Soient $x \sim x’$ et $y \sim y’$. Cela signifie qu’il existe des entiers $k_1, k_2$ tels que $x’ = x + k_1n$ et $y’ = y + k_2n$.
- On calcule la somme : $x’ + y’ = (x + k_1n) + (y + k_2n) = (x+y) + (k_1+k_2)n$.
- La différence $(x’+y’) – (x+y) = (k_1+k_2)n$ est un multiple de $n$.
- On a donc bien $(x+y) \sim (x’+y’)$.