Relation entre Différentiabilité et Continuité
En analyse à une variable, la relation est simple : une fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point. Cette hiérarchie se maintient pour les fonctions de plusieurs variables, mais le paysage est plus complexe en raison de l’existence de notions intermédiaires comme les dérivées partielles.
1. Différentiable $\implies$ Continu
C’est le résultat le plus important. La différentiabilité est une condition forte qui garantit la continuité.
Si une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ est différentiable en un point $a \in U$, alors elle est continue en ce point $a$.
La preuve est une conséquence directe de la définition de la différentiabilité.
Si $f$ est différentiable en $a$, il existe une application linéaire $df_a$ telle que :
$$ f(a+h) – f(a) = df_a(h) + o(\|h\|) $$
Nous voulons montrer que $\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$, ce qui est équivalent à montrer que $\lim_{h \to 0} (f(a+h) – f(a)) = 0$.
Prenons la norme :
$$ \|f(a+h) – f(a)\| = \|df_a(h) + o(\|h\|)\| \le \|df_a(h)\| + \|o(\|h\|)\| $$
Comme $df_a$ est une application linéaire en dimension finie, elle est continue, et il existe une constante $C$ telle que $\|df_a(h)\| \le C\|h\|$.
De plus, par définition, $\lim_{h \to 0} \frac{\|o(\|h\|)\|}{\|h\|} = 0$.
Ainsi, quand $h \to 0$, les deux termes $\|df_a(h)\|$ et $\|o(\|h\|)\|$ tendent vers 0.
Par encadrement, on a bien $\lim_{h \to 0} \|f(a+h) – f(a)\| = 0$, ce qui prouve la continuité de $f$ en $a$.
2. La Réciproque est Fausse
Tout comme en dimension 1, une fonction continue n’est pas nécessairement différentiable. La continuité n’impose aucune régularité sur la « pente » de la fonction.
L’exemple le plus simple en une dimension est la fonction valeur absolue $g(t)=|t|$, qui est continue en 0 mais non dérivable. On peut généraliser cette idée.
Contre-Exemple en 2D
Soit la fonction $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} = \|(x,y)\|_2$. C’est la fonction « norme euclidienne ».
- Continuité en (0,0) : La fonction est continue en $(0,0)$. $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2+y^2} = 0 = f(0,0) $$
- Non-différentiabilité en (0,0) :
Une condition nécessaire à la différentiabilité est l’existence des dérivées partielles. Regardons la dérivée partielle par rapport à $x$ en $(0,0)$ :
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2+0^2} – 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $$
Cette limite n’existe pas (elle vaut 1 pour $h \to 0^+$ et -1 pour $h \to 0^-$).
Puisque les dérivées partielles n’existent même pas en $(0,0)$, la fonction ne peut pas y être différentiable. [Image du graphe d’un cône]
3. La Hiérarchie de la Régularité
On peut résumer les relations entre les différentes notions de régularité d’une fonction en un point comme suit :
$$ \text{Fonction de classe C}^1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ \text{Fonction différentiable} $$ $$ \Downarrow $$ $$ \text{Fonction continue ET toutes les dérivées partielles existent} $$ $$ \Downarrow $$ $$ \text{Fonction continue} \quad ; \quad \text{Fonction partiellement continue} $$
Attention : Aucune des implications inverses n’est vraie en général.