Relations entre Intérieur, Adhérence et Frontière
L’intérieur, l’adhérence et la frontière d’une partie $A$ ne sont pas des notions indépendantes. Elles sont liées par des relations algébriques simples qui permettent de calculer l’une à partir des deux autres. Comprendre ces liens est essentiel pour manipuler ces concepts efficacement.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$. La frontière $\partial A$ peut être calculée de deux manières équivalentes :
- Avec l’adhérence : La frontière est l’intersection de l’adhérence de $A$ et de l’adhérence de son complémentaire. $$ \partial A = \bar{A} \cap \overline{A^c} $$
- Avec l’adhérence et l’intérieur : La frontière est l’ensemble des points de l’adhérence qui ne sont pas dans l’intérieur. $$ \partial A = \bar{A} \setminus \mathring{A} $$
Disjonction des Ensembles
Une propriété fondamentale est que pour n’importe quelle partie $A$, l’espace total $X$ est la réunion de trois ensembles disjoints :
- L’intérieur de $A$ : $\mathring{A}$.
- La frontière de $A$ : $\partial A$.
- L’extérieur de $A$ (qui est l’intérieur du complémentaire) : $\mathring{(A^c)}$.
L’espace topologique $X$ peut être écrit comme l’union disjointe suivante : $$ X = \mathring{A} \cup \partial A \cup \mathring{(A^c)} $$
Exemple Visuel dans $\mathbb{R}$
Considérons dans $\mathbb{R}$ la partie $A = [0, 1[ \cup \{2\}$.
- L’intérieur est $\mathring{A} = ]0, 1[$.
- L’adhérence est $\bar{A} = [0, 1] \cup \{2\}$.
- En utilisant la formule $\partial A = \bar{A} \setminus \mathring{A}$, on obtient : $$ \partial A = ([0, 1] \cup \{2\}) \setminus ]0, 1[ = \{0, 1, 2\} $$
- L’extérieur est l’intérieur du complémentaire : $\mathring{(A^c)} = ]-\infty, 0[ \cup ]1, 2[ \cup ]2, +\infty[$.
On vérifie bien que l’union disjointe de $\mathring{A}$, $\partial A$ et $\mathring{(A^c)}$ reconstitue bien $\mathbb{R}$ tout entier.