Le Repère projectif constitue la structure de référence fondamentale en géométrie projective, permettant d’assigner des coordonnées homogènes uniques à tout point de l’espace grâce à un système de $n+2$ points en position générale. Contrairement au repère affine, il intègre intrinsèquement le point unité pour fixer l’échelle des facteurs multiplicatifs.
Définition formelle d’un Repère projectif
Soit $\mathbb{P}(E)$ un espace projectif de dimension $n$, associé à un espace vectoriel $E$ de dimension $n+1$ sur un corps $\mathbb{K}$. Un Repère projectif est défini par la donnée d’une famille ordonnée de $n+2$ points :
$$ \mathcal{R} = (M_0, M_1, \dots, M_n, U) $$Cette famille doit satisfaire deux conditions critiques de liberté projective :
- Toute sous-famille de $n+1$ points est projectivement libre (les vecteurs représentants forment une base de $E$).
- Le point $U$, appelé point unité, n’appartient à aucun hyperplan engendré par $n$ points de la base fondamentale.
Algébriquement, cela signifie qu’il existe des vecteurs représentants $\vec{e}_0, \dots, \vec{e}_n$ pour les points $M_i$ tels que le vecteur représentant $U$ soit exactement leur somme :
$$ \vec{u} = \sum_{i=0}^n \vec{e}_i $$Cette normalisation est essentielle car elle fixe les facteurs d’échelle individuels de chaque vecteur de base, rendant le système de coordonnées unique.
Coordonnées homogènes associées
Dans un Repère projectif donné, tout point $M \in \mathbb{P}(E)$ possède des coordonnées homogènes uniques $(x_0 : x_1 : \dots : x_n)$. Ces scalaires sont définis par la relation vectorielle :
$$ \vec{m} = \sum_{i=0}^n x_i \vec{e}_i $$Où $\vec{m}$ est un vecteur représentant $M$ et $(\vec{e}_0, \dots, \vec{e}_n)$ est la base vectorielle associée au repère projetif. Les coordonnées des points de référence sont canoniques :
- $M_0 = [1 : 0 : \dots : 0]$
- $M_k = [0 : \dots : 1 : \dots : 0]$ (le 1 est à la position $k$)
- $U = [1 : 1 : \dots : 1]$
L’absence du point unité rendrait les coordonnées indéterminées à un facteur près pour chaque axe, empêchant tout calcul de birapport ou d’homographie précise.
Théorème fondamental des Repères projectifs
L’existence et l’unicité des coordonnées dans un Repère projectif découlent directement du théorème fondamental de la géométrie projective, qui lie la géométrie des points à l’algèbre linéaire.
Énoncé et démonstration d’unicité
Théorème : Soient $\mathcal{R} = (M_0, \dots, M_n, U)$ et $\mathcal{R}’ = (M’_0, \dots, M’_n, U’)$ deux repères projectifs de $\mathbb{P}^n$. Il existe une unique homographie $f : \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ telle que $f(M_i) = M’_i$ pour tout $i$ et $f(U) = U’$.
Preuve : Choisissons des représentants vectoriels $\vec{e}_0, \dots, \vec{e}_n$ pour $M_0, \dots, M_n$. Puisque ces points forment une base projective, les vecteurs forment une base de $E$.
Soit $\vec{u}$ un représentant de $U$. On peut écrire $\vec{u} = \sum_{i=0}^n \alpha_i \vec{e}_i$ avec tous les $\alpha_i \neq 0$ (car $U$ n’est dans aucun hyperplan de base). Définissons une nouvelle base $\vec{e}’_i = \alpha_i \vec{e}_i$. Alors $\vec{u} = \sum \vec{e}’_i$.
Faisons de même pour $\mathcal{R}’$ avec une base $\vec{f}’_i$ telle que le représentant de $U’$ soit $\sum \vec{f}’_i$. Il existe un unique isomorphisme linéaire $\phi : E \to E$ tel que $\phi(\vec{e}’_i) = \vec{f}’_i$ pour tout $i$.
Cet isomorphisme induit une homographie projective $f = P(\phi)$ qui envoie exactement les points de $\mathcal{R}$ sur ceux de $\mathcal{R}’$. L’unicité de $f$ découle de l’unicité de $\phi$ à un scalaire global près, ce qui est la définition de l’égalité dans $\text{PGL}(E)$. $\blacksquare$
Conséquence sur les changements de repère
Le changement de Repère projectif s’effectue par multiplication matricielle. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées dans $\mathcal{R}$ et $X’$ dans $\mathcal{R}’$, alors :
$$ X’ = P^{-1} X $$Où $P$ est la matrice de passage dont les colonnes sont les coordonnées des nouveaux vecteurs de base exprimés dans l’ancienne base, correctement normalisées par le point unité. Cette linéarité simplifie considérablement les calculs de transformation.
Propriétés géométriques et invariance
Les propriétés du Repère projectif garantissent l’invariance de certaines configurations géométriques indépendamment du choix des coordonnées.
Position générale et indépendance
La condition de « position générale » des $n+2$ points est cruciale. Dans le plan projectif ($\mathbb{P}^2$), cela signifie que parmi 4 points, aucun triplet n’est aligné.
Si trois points $M_0, M_1, M_2$ sont alignés, ils ne peuvent former la base d’un repère projectif du plan. Le déterminant de leurs coordonnées serait nul, violant la condition d’indépendance linéaire des vecteurs représentants.
Cette propriété assure que le repère couvre tout l’espace sans dégénérescence locale.
Invariance du birapport
Sur une droite projective ($\mathbb{P}^1$), un repère est défini par 3 points $(M_0, M_1, U)$. Le birapport de quatre points $(M_0, M_1, U, M)$ est égal à la coordonnée homogène $x_1/x_0$ du point $M$ dans ce repère.
Ainsi, le Repère projectif sert d’étalon pour mesurer le birapport, qui est le seul invariant projectif sur la droite. Changer de repère conserve la valeur du birapport entre quatre points quelconques.
Exemples concrets de construction
Illustrons la théorie par des exemples explicites en dimensions 1 et 2, montrant comment construire et utiliser un Repère projectif.
Exemple 1 : Repère de la droite projective réelle
Considérons la droite projective $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$. Un repère nécessite $1+2=3$ points. Choisissons :
- $M_0 = [1:0]$ (le point à l’infini usuel si on identifie $[x:1]$ à $x$)
- $M_1 = [0:1]$ (l’origine 0)
- $U = [1:1]$ (le point unité 1)
Vérifions l’indépendance : Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ forment bien une base de $\mathbb{R}^2$. De plus, $(1,1) = 1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1)$.
Dans ce repère, le point $M=[2:3]$ a pour coordonnées homogènes $(2,3)$. Son birapport avec la base est $3/2$. Si nous avions choisi un autre représentant pour $U$, disons $[2:2]$, la base vectorielle aurait changé, mais le point projectif $U$ reste le même, assurant la cohérence du système.
Exemple 2 : Repère canonique du plan projectif
Dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$, le repère canonique est constitué des points :
$$ M_0=[1:0:0], \quad M_1=[0:1:0], \quad M_2=[0:0:1], \quad U=[1:1:1] $$Ces points correspondent aux sommets du triangle de référence et au point unité intérieur. Toute conique passant par ces quatre points a une équation très contrainte.
Supposons vouloir trouver l’homographie envoyant ce repère canonique sur un repère cible $(A,B,C,D)$. Il suffit de construire la matrice $P$ dont les colonnes sont des représentants de $A,B,C$ normalisés tels que leur somme soit proportionnelle à un représentant de $D$.
Si $A=[1:2:1]$, $B=[1:0:1]$, $C=[0:1:1]$ et $D=[2:3:3]$. On cherche $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $\alpha \vec{A} + \beta \vec{B} + \gamma \vec{C} = \vec{D}$.
Ce système linéaire détermine uniquement les facteurs d’échelle, définissant ainsi l’unique matrice de l’homographie.
Contre-exemple : Configuration dégénérée
Prenons quatre points dans $\mathbb{P}^2$ tels que trois soient alignés : $M_0=[1:0:0]$, $M_1=[0:1:0]$, $M_2=[1:1:0]$ et $U=[0:0:1]$.
Les points $M_0, M_1, M_2$ appartiennent tous à la droite d’équation $z=0$. Ils ne peuvent pas former une base projective avec un quatrième point pour définir un repère complet du plan, car toute combinaison linéaire de leurs représentants restera dans le plan vectoriel $z=0$.
Il est impossible d’exprimer le vecteur de $U$ (qui a une composante $z$ non nulle) comme combinaison linéaire des vecteurs de $M_0, M_1, M_2$. La condition de position générale est violée.
Applications en géométrie algorithmique
Le Repère projectif est l’outil central pour la rectification d’images et la calibration de caméras en vision par ordinateur.
Rectification perspective
Pour transformer une photo d’un plan (ex: un tableau vu en perspective) en une vue de face, on identifie quatre points connus sur l’image correspondant à un rectangle (ou carré) réel.
Ces quatre points définissent un repère projectif dans l’image. En calculant l’homographie qui envoie ce repère sur le repère canonique du plan image $( [0,0], [1,0], [0,1], [1,1] )$, on redresse l’image parfaitement.
Cette opération repose entièrement sur l’unicité de l’homographie définie par un Repère projectif.
Interpolation de textures
Dans le rendu 3D, lorsqu’un polygone est projeté à l’écran, les coordonnées de texture doivent être interpolées de manière projective (perspective-correct interpolation).
Cela revient à travailler dans le repère projectif de la surface plutôt que dans le repère affine de l’écran. L’utilisation correcte des coordonnées homogènes issues du repère projectif évite les distorsions visuelles sur les surfaces inclinées.
Conclusion synthétique
Le Repère projectif, par sa structure de $n+2$ points en position générale, fournit le cadre rigoureux nécessaire pour coordonner l’espace projectif et définir les transformations géométriques fondamentales.
Sa maîtrise permet de passer de la géométrie synthétique à l’algèbre matricielle, facilitant la résolution de problèmes complexes d’incidence, de reconstruction 3D et d’invariants géométriques grâce au théorème fondamental d’unicité des homographies.