Les repères affines constituent la structure de base permettant de repérer de manière unique tout point d’un espace affine à l’aide de coordonnées. Ils généralisent les repères cartésiens tout en s’appuyant sur la notion de barycentre.
Définitions des repères affines
Espace affine
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$ associé à un espace vectoriel $\vec{E}$ de dimension $n$. Un point $O \in \mathcal{E}$ est appelé origine du repère.
Famille affinement libre
Une famille de $k+1$ points $(A_0, A_1, \dots, A_k)$ de $\mathcal{E}$ est dite affinement libre (ou affinement indépendante) si les vecteurs $(\vec{A_0A_1}, \vec{A_0A_2}, \dots, \vec{A_0A_k})$ forment une famille linéairement indépendante dans $\vec{E}$.
Repère affine
Un repère affine de $\mathcal{E}$ est un couple $(O; \mathcal{B})$ où :
- $O \in \mathcal{E}$ est un point appelé origine ;
- $\mathcal{B} = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n})$ est une base de l’espace vectoriel directeur $\vec{E}$.
On note ce repère $(O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots, \vec{e_n})$.
Repère affine défini par $n+1$ points
Soit $(A_0, A_1, \dots, A_n)$ une famille de $n+1$ points affinement libres de $\mathcal{E}$. Alors $(A_0; \vec{A_0A_1}, \vec{A_0A_2}, \dots, \vec{A_0A_n})$ est un repère affine de $\mathcal{E}$.
Propriétés des repères affines
Théorème d’unicité des coordonnées affines
Soit $(O; \vec{e_1}, \dots, \vec{e_n})$ un repère affine de $\mathcal{E}$. Alors pour tout point $M \in \mathcal{E}$, il existe une unique famille de scalaires $(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ telle que :
$$ \vec{OM} = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \dots + x_n \vec{e_n}. $$Les réels $(x_1, \dots, x_n)$ sont les coordonnées affines de $M$ dans ce repère.
Preuve :
Comme $(\vec{e_1}, \dots, \vec{e_n})$ est une base de $\vec{E}$, tout vecteur de $\vec{E}$, en particulier $\vec{OM}$, admet une unique décomposition dans cette base. L’existence et l’unicité découlent donc directement de la définition d’une base. $\blacksquare$
Théorème : équivalence des deux définitions
Les deux définitions suivantes sont équivalentes :
- $(O; \vec{e_1}, \dots, \vec{e_n})$ avec $\vec{e_i}$ base de $\vec{E}$ ;
- $(A_0, A_1, \dots, A_n)$ famille de $n+1$ points affinement libres.
Preuve :
$(1) \Rightarrow (2)$ : Supposons $(O; \vec{e_1}, \dots, \vec{e_n})$ un repère. Posons $A_i = O + \vec{e_i}$ pour $i=1,\dots,n$. Les vecteurs $\vec{OA_i} = \vec{e_i}$ sont linéairement indépendants, donc les $n+1$ points $(O, A_1, \dots, A_n)$ sont affinement libres.
$(2) \Rightarrow (1)$ : Si $(A_0, A_1, \dots, A_n)$ sont affinement libres, alors les vecteurs $(\vec{A_0A_1}, \dots, \vec{A_0A_n})$ forment une base de $\vec{E}$. Donc $(A_0; \vec{A_0A_1}, \dots, \vec{A_0A_n})$ est un repère affine. $\blacksquare$
Lien avec les coordonnées barycentriques
Dans un repère affine $(A_0, A_1, \dots, A_n)$, tout point $M$ admet des coordonnées barycentriques $(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n)$ uniques vérifiant :
$$ \sum_{i=0}^{n} \lambda_i = 1 \quad \text{et} \quad M = \sum_{i=0}^{n} \lambda_i A_i. $$Les coordonnées affines $(x_1, \dots, x_n)$ et barycentriques sont liées par :
$$ x_i = \lambda_i \quad (i=1,\dots,n), \qquad \lambda_0 = 1 – \sum_{i=1}^{n} x_i. $$Changement de repère affine
Théorème du changement de repère
Soient $\mathcal{R} = (O; \vec{e_1}, \dots, \vec{e_n})$ et $\mathcal{R}’ = (O’; \vec{e’_1}, \dots, \vec{e’_n})$ deux repères affines de $\mathcal{E}$. Il existe une unique matrice inversible $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et un unique vecteur $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$ tels que, si $X$ et $X’$ sont les matrices colonnes des coordonnées d’un même point $M$ dans $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}’$ respectivement, alors :
$$ X’ = P^{-1}(X – U) $$où $U$ est la matrice colonne des coordonnées de $O’$ dans $\mathcal{R}$.
Exemples géométriques
Exemple 1 : Repère canonique de $\mathbb{R}^2$
Dans le plan affine $\mathbb{R}^2$, le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec $O=(0,0)$, $\vec{i}=(1,0)$, $\vec{j}=(0,1)$ est le repère affine canonique.
Les coordonnées affines d’un point $M=(x,y)$ sont simplement $(x,y)$.
Exemple 2 : Repère défini par trois points non alignés
Soient $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(1,3)$ dans le plan. Ces trois points sont affinement libres car les vecteurs $\vec{AB}=(4,0)$ et $\vec{AC}=(1,3)$ sont linéairement indépendants.
$(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ est donc un repère affine du plan. Les coordonnées $(x,y)$ d’un point $M$ dans ce repère vérifient :
$$ \vec{AM} = x \vec{AB} + y \vec{AC} $$ $$ (x_M, y_M) = x(4,0) + y(1,3) = (4x+y, 3y). $$Exemple 3 : Centre de gravité dans un repère affine
Dans le repère $(A,B,C)$ d’un triangle, le centre de gravité $G$ a pour coordonnées barycentriques $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$. Ses coordonnées affines par rapport à $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ sont :
$$ x = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{3}. $$Contre-exemple : famille affinement liée
Soient quatre points $A,B,C,D$ dans le plan tels que $D$ appartient au plan défini par $A,B,C$ (c’est-à-dire tous coplanaires). La famille $(A,B,C,D)$ n’est pas affinement libre car les vecteurs $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ sont linéairement dépendants dans un espace vectoriel de dimension 2. Ils ne peuvent donc pas former un repère affine de l’espace de dimension 3.
Résumé des propriétés essentielles
- Un repère affine de dimension $n$ est constitué d’un point et d’une base vectorielle de dimension $n$.
- $n+1$ points affinement libres définissent un repère affine.
- Tout point admet des coordonnées affines uniques dans un repère donné.
- Les coordonnées barycentriques et affines sont liées par $\lambda_0 = 1 – \sum x_i$.
- Le changement de repère est décrit par une transformation affine $X’ = P^{-1}(X – U)$.