Objectif : Distinguer les types d’angles.

Sur la figure, \(O\) est le centre du cercle. Préciser la nature (inscrit, au centre, ou ni l’un ni l’autre) des angles suivants et l’arc intercepté :

1. \(\widehat{AOC}\)
2. \(\widehat{ABC}\)
3. \(\widehat{OBC}\)
4. \(\widehat{BAC}\)

Objectif : Utiliser le lien \(\times 2\) ou \(\div 2\).

Soit un cercle de centre \(O\). \(A, B, C\) sont trois points du cercle.

1. On donne \(\widehat{AOB} = 110^\circ\). Calculer \(\widehat{ACB}\).
2. On donne \(\widehat{ACB} = 35^\circ\). Calculer \(\widehat{AOB}\).
3. Si \(\widehat{AOB} = 180^\circ\) (angle plat), que vaut \(\widehat{ACB}\) ? Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

Objectif : Angles interceptant le même arc.

Sur la figure, les points \(A, B, M, N\) sont sur le cercle. On donne \(\widehat{AMB} = 50^\circ\).

1. Quel arc l’angle \(\widehat{AMB}\) intercepte-t-il ?
2. Quel autre angle inscrit intercepte le même arc ?
3. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{ANB}\).

Objectif : Utiliser les propriétés du triangle isocèle avec les rayons.

Soit un cercle de centre \(O\) et deux points \(A\) et \(B\) sur ce cercle tels que \(\widehat{AOB} = 80^\circ\).

1. Quelle est la nature du triangle \(OAB\) ? Justifier.
2. Calculer les mesures des angles \(\widehat{OAB}\) et \(\widehat{OBA}\).
3. Soit \(M\) un point du grand arc \(AB\). Calculer \(\widehat{AMB}\).

Objectif : Calculer des angles dans des figures parfaites.

Soit \(ABCDE\) un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\).

1. Calculer la mesure de l’angle au centre \(\widehat{AOB}\). (Le tour complet fait \(360^\circ\)).
2. En déduire la mesure de l’angle inscrit \(\widehat{AEB}\).
3. Le triangle \(AEB\) est-il isocèle ? Justifier.

Objectif : Propriété des angles opposés.

Soit \(ABCD\) un quadrilatère inscrit dans un cercle.

1. On donne \(\widehat{ABC} = 100^\circ\). Calculer \(\widehat{ADC}\).
   (Indice : L’angle \(\widehat{ABC}\) intercepte le grand arc AC, l’angle \(\widehat{ADC}\) intercepte le petit arc AC. La somme des angles au centre correspondants est \(360^\circ\)).
2. Que peut-on dire de la somme de deux angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ?

Objectif : Reconnaître le triangle rectangle.

\([AB]\) est un diamètre d’un cercle de centre \(O\). \(C\) est un point du cercle distinct de \(A\) et \(B\).

1. Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{AOB}\) ?
2. En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{ACB}\).
3. Si on trace la médiane \([OC]\), quelle est la nature du triangle \(AOC\) ?

Objectif : Poser une équation simple avec des angles.

Dans un cercle, on considère un angle inscrit \(\widehat{MAN}\) et l’angle au centre associé \(\widehat{MON}\).

On sait que la mesure de l’angle au centre dépasse de \(45^\circ\) la mesure de l’angle inscrit.

1. Poser \(x = \widehat{MAN}\). Exprimer \(\widehat{MON}\) en fonction de \(x\).
2. Écrire l’équation traduisant le problème : \(\widehat{MON} = x + 45\).
3. Trouver \(x\) et donner les mesures des deux angles.

Objectif : Propriété de l’angle formé par une corde et une tangente.

Soit \((d)\) la tangente en \(A\) à un cercle de centre \(O\). Soit \(B\) un point du cercle.

L’angle entre la corde \([AB]\) et la tangente \((d)\) (angle \(\widehat{TAB}\)) est un cas limite d’angle inscrit. Il mesure la moitié de l’angle au centre \(\widehat{AOB}\).

1. Si \(\widehat{AOB} = 120^\circ\), calculer l’angle \(\widehat{TAB}\).
2. Sachant que le triangle \(OAB\) est isocèle, retrouver cette valeur par le calcul des angles du triangle \(OAB\) et l’angle droit de la tangente.

Objectif : Utiliser les angles pour prouver des triangles semblables.

Soient \([AC]\) et \([BD]\) deux cordes d’un cercle qui se coupent en un point \(P\).

1. Comparer les angles \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{ACD}\). (Ils interceptent le même arc).
2. Comparer les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BDC}\).
3. En déduire que les triangles \(PAB\) et \(PCD\) sont semblables.