1. En remarquant que \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\), calculer les valeurs exactes de \(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\).
2. Calculer de même \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\).
3. Soit \(x \in \mathbb{R}\). Simplifier l’expression : \[ A = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \]

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \[ \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = \cos(2x)(1 + 2\cos x) \]
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0\).
3. Calculer la valeur exacte de \( \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) \).

1. Linéariser \(\cos^4(x)\). (C’est-à-dire l’exprimer en fonction de \(\cos(2x)\) et \(\cos(4x)\)).
2. Linéariser \(\sin^3(x)\).
3. En déduire une primitive de la fonction \(f(x) = \cos^4(x)\) (anticipation sur le cours d’analyse).

1. Mettre sous la forme \(R \cos(x – \alpha)\) les expressions suivantes :
   a) \(\cos x + \sin x\)
   b) \(\sqrt{3}\cos x – \sin x\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}\).
3. Résoudre dans \([-\pi, \pi]\) l’inéquation : \(\sqrt{3}\cos x – \sin x > 1\).

Résoudre dans l’ensemble indiqué les équations suivantes :

1. \(2\sin^2 x – 3\sin x + 1 = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(\cos(2x) = \sin(x)\) sur \([0, 2\pi]\).
3. \(\sqrt{3}\tan^2 x + (\sqrt{3}-1)\tan x – 1 = 0\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

Résoudre dans l’intervalle \(I\) les inéquations suivantes :

1. \(2\cos x + \sqrt{2} \leq 0\) sur \(I = [0, 2\pi]\).
2. \(\tan x > \sqrt{3}\) sur \(I = [-\pi, \pi]\).
3. \(\sin(2x) \geq \frac{1}{2}\) sur \(I = [0, \pi]\).

1. Démontrer que pour tout \(x \notin \{\frac{k\pi}{2}\}\) : \[ \frac{1 – \cos(2x)}{\sin(2x)} = \tan x \]
2. En déduire la valeur exacte de \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)\) et \(\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)\).
3. Montrer que \(\cos^4 x – \sin^4 x = \cos(2x)\).

1. Exprimer \(\cos x\) et \(\sin x\) en fonction de \(t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)\).
2. Résoudre l’équation : \(2\sin x – \cos x = 1\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=c\), \(AC=b\) et \(BC=a\). On note \(\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}\) les angles du triangle.

1. Démontrer que \(\sin(A) = \sin(B+C)\).
2. Montrer que \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).
3. Application : Si \(a=5\), \(\widehat{B}=45^\circ\) et \(\widehat{C}=60^\circ\), calculer les longueurs \(b\) et \(c\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos^3 x \sin x – \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}\).
   (Indication : Factoriser par \(\cos x \sin x\) et utiliser l’angle double).
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \[ \cos(3x) = 4\cos^3 x – 3\cos x \]
3. En déduire la résolution de l’équation : \(8x^3 – 6x – 1 = 0\) dans l’intervalle \([-1, 1]\) en posant \(x = \cos \theta\).