Objectif : Utiliser le principe multiplicatif.

1. Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 si :
   a) Les chiffres peuvent être répétés ?
   b) Les chiffres doivent être distincts ?
2. Un menu est composé d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. Il y a 3 choix d’entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus différents peut-on composer ?

Objectif : Utiliser \(A_n^p\).

Dans une course de 10 chevaux, on s’intéresse au tiercé (les 3 premiers dans l’ordre).

1. Combien y a-t-il de tiercés possibles ?
2. Combien de tiercés contiennent le cheval numéro 7 en première position ?
3. Combien de tiercés contiennent le cheval numéro 7 ?

Objectif : Utiliser \(n!\).

Combien d’anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot :

1. « MATHS » (Toutes les lettres sont distinctes).
2. « ELEVE » (Attention aux répétitions : il faut diviser par les factorielles des lettres répétées).

Objectif : Utiliser \(C_n^p\).

Une classe contient 12 garçons et 8 filles. On veut former un groupe de 4 élèves.

1. Combien de groupes possibles peut-on former ?
2. Combien de groupes contiennent exactement 2 garçons et 2 filles ?
3. Combien de groupes contiennent au moins une fille ?

Objectif : Manipuler les formules algébriques.

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) les équations suivantes :

1. \(C_n^2 = 21\)
2. \(A_n^3 = 6 C_n^3\) (Celle-ci est une identité, vérifier la condition sur \(n\)).
3. \(C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = 5n\).

Objectif : Développer \((a+b)^n\).

1. Développer \((2x – 1)^5\) en utilisant la formule du binôme de Newton.
2. Déterminer le coefficient de \(x^3\) dans le développement de \((x + 2)^7\).

Objectif : Utiliser le binôme pour calculer des sommes.

En utilisant le développement de \((1+x)^n\), calculer les sommes suivantes :

1. \(S_1 = \sum_{k=0}^n C_n^k\) (Poser \(x=1\)).
2. \(S_2 = \sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k\) (Poser \(x=-1\)).
3. \(S_3 = \sum_{k=0}^n 2^k C_n^k\).

Objectif : Appliquer à un jeu de cartes.

On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 32 cartes.

1. Combien y a-t-il de mains possibles ?
2. Combien de mains contiennent exactement un carré (4 cartes de même valeur, ex: 4 As) ?
3. Combien de mains contiennent exactement 3 Cœurs et 2 Piques ?

Objectif : Compter des figures.

On considère 10 points dans le plan dont 4 sont alignés. Aucun autre triplet de points n’est aligné.

1. Combien de droites peut-on former en joignant deux de ces points ? (Attention aux points alignés qui forment la même droite).
2. Combien de triangles peut-on former avec ces points comme sommets ?

Objectif : Différencier tirage avec et sans remise.

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires.

1. On tire successivement sans remise 3 boules.
   a) Combien de tirages possibles ?
   b) Combien de tirages pour avoir « Blanc, Noir, Blanc » dans cet ordre ?
2. On tire successivement avec remise 3 boules.
   a) Combien de tirages possibles ?
   b) Combien de tirages contiennent exactement 2 boules blanches ?