Objectif : Bases de l’étude (Limites, Variations, Tangente).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 2\).

1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\). Déterminer les branches infinies (Branches paraboliques).
2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations complet de \(f\).
4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
5. Calculer \(f »(x)\) et étudier la concavité de la courbe. Préciser le point d’inflexion.

Objectif : Asymptotes et Position relative.

Soit \(g\) la fonction définie par : \(g(x) = \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}\).

1. Déterminer \(D_g\) et calculer les limites aux bornes. En déduire l’asymptote verticale.
2. Déterminer trois réels \(a, b, c\) tels que \(g(x) = ax + b + \frac{c}{x – 1}\).
3. Montrer que la droite \((\Delta) : y = x + 3\) est une asymptote oblique à \((C_g)\).
4. Étudier la position relative de la courbe \((C_g)\) par rapport à \((\Delta)\).
5. Montrer que le point de concours des asymptotes est un centre de symétrie de la courbe.

Objectif : Utiliser les formules de changement de repère ou de symétrie.

Soit \(h(x) = \frac{2x^2 – 4x + 5}{x^2 – 2x + 2}\). (\(D_h = \mathbb{R}\)).

1. Montrer que la droite d’équation \(x = 1\) est un axe de symétrie de la courbe \((C_h)\).
   (Rappel : Vérifier que \(h(2a – x) = h(x)\) avec \(a = 1\)).
2. Soit \(k(x) = x^3 – 3x^2 + 4\). Montrer que le point \(\Omega(1, 2)\) est un centre de symétrie de la courbe \((C_k)\).
   (Rappel : Vérifier que \(k(2a – x) + k(x) = 2b\)).

Objectif : Identifier la nature de la branche (Asymptote ou Direction).

Déterminer la nature des branches infinies pour les fonctions suivantes au voisinage de \(+\infty\) :

• \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} – x\) (Limite finie)
• \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x\) (Direction asymptotique ?)
• \(h(x) = 2x + 1 + \frac{\sin x}{x}\)
• \(k(x) = x + \sqrt{x}\)

Objectif : Retrouver les propriétés à partir du dessin.

La figure représente la courbe d’une fonction \(f\).

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(1^-\) et \(1^+\). Quelle est l’équation de l’asymptote verticale ?
2. Donner l’allure de la courbe au voisinage de \(+\infty\). S’agit-il d’une asymptote oblique ?
3. Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
4. Combien l’équation \(f(x) = 0\) possède-t-elle de solutions ?

Objectif : Étude avec racine carrée.

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 – 2x}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en 2 et à gauche en 0. Interpréter graphiquement (Tangentes verticales).
3. Calculer \(f'(x)\) sur les intervalles ouverts de \(D_f\).
4. Montrer que la droite d’équation \(y = x – 1\) est une asymptote oblique en \(+\infty\).

Objectif : Périodicité et restriction d’étude.

Soit \(g(x) = \cos(2x) – 2\cos(x)\).

1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que \(g\) est périodique de période \(2\pi\) et paire.
3. En déduire qu’on peut restreindre l’étude à l’intervalle \([0 ; \pi]\).
4. Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe sur \([0 ; \pi]\).
5. Dresser le tableau de variations sur \([-\pi ; \pi]\).

Objectif : Étudier \(f(x) – (ax+b)\).

Soit \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x + 1\) et \((T)\) la tangente à sa courbe au point d’abscisse 1.

1. Déterminer l’équation réduite de \((T)\).
2. Étudier le signe de \(f(x) – y_{(T)}\).
3. Que peut-on dire du point d’abscisse 1 pour la courbe ? (Traversée de la tangente).

Objectif : Disjonction des cas pour la dérivation.

Soit \(h(x) = x |x – 2|\).

1. Écrire \(h(x)\) sans valeur absolue.
2. Étudier la dérivabilité de \(h\) en 2.
3. Dresser le tableau de variations de \(h\).
4. Construire la courbe \((C_h)\).

Objectif : Utiliser une fonction pour minimiser une distance ou une aire.

Soit un rectangle \(ABCD\) tel que \(AB=4\) et \(AD=3\).
On place un point \(M\) sur \([AB]\) et un point \(N\) sur \([AD]\) tels que \(AM = AN = x\).
On place \(P\) tel que \(AMNP\) soit un carré.

1. Exprimer l’aire du polygone \(BCD P NM\) (le rectangle moins le carré) en fonction de \(x\).
2. Cette aire peut-elle être minimale ? Maximale ?
3. On considère maintenant la distance \(MC\). Pour quelle valeur de \(x\) cette distance est-elle minimale ?