Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 – 1}\).

1. Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\). Interpréter graphiquement.
2. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\). Préciser les asymptotes verticales.
3. Étudier les branches infinies de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(f\).
5. Calculer \(f »(x)\) et étudier la concavité de la courbe. Préciser le point d’inflexion.
6. Construire la courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé.

Soit \(g(x) = \frac{2x^2 + x – 1}{x – 1}\).

1. Déterminer les réels \(a, b, c\) tels que \(g(x) = ax + b + \frac{c}{x – 1}\).
2. Montrer que la droite \((\Delta) : y = 2x + 3\) est une asymptote oblique à \((C_g)\).
3. Étudier la position relative de \((C_g)\) par rapport à \((\Delta)\).
4. Montrer que le point \(\Omega(1, 5)\) est un centre de symétrie de la courbe.

Déterminer la nature des branches infinies des fonctions suivantes au voisinage de \(+\infty\) :

1. \(f_1(x) = x^2 – \sqrt{x}\)
2. \(f_2(x) = x + \sqrt{x}\)
3. \(f_3(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}\)
4. \(f_4(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}\)

Soit \(h(x) = x + \sqrt{x^2 – 1}\).

1. Déterminer \(D_h\).
2. Étudier la dérivabilité de \(h\) à droite en 1 et à gauche en -1. Interpréter.
3. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} h(x)\) et \(\lim_{x \to -\infty} h(x)\).
4. Montrer que la droite \(y = 2x\) est une asymptote oblique en \(+\infty\).
5. Déterminer la branche infinie au voisinage de \(-\infty\).

Soit \(f(x) = x^4 – 6x^2 + 4x – 1\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f »(x)\).
2. Étudier le signe de \(f »(x)\) et en déduire la concavité de \((C_f)\).
3. Déterminer les coordonnées des points d’inflexion de \((C_f)\).
4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe en chacun de ces points.

1. Montrer que la droite \(x = 2\) est un axe de symétrie pour \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 5}\).
2. Montrer que le point \(\Omega(1, 2)\) est un centre de symétrie pour \(g(x) = \frac{2x + 1}{x – 1}\).

Soit \(f(x) = \cos(2x) – 2\cos(x)\).

1. Déterminer la période de \(f\).
2. Étudier la parité et réduire l’intervalle d’étude à \(I = [0, \pi]\).
3. Calculer \(f'(x)\) et factoriser l’expression à l’aide de \(\sin(x)\).
4. Dresser le tableau de variations sur \(I\).
5. Déterminer les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sur \([-\pi, \pi]\).

Partie A : Soit \(g(x) = 2x^3 – 3x^2 – 1\).
Étudier les variations de \(g\) et montrer que \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in ]1,6 ; 1,7[\).

Partie B : Soit \(f(x) = \frac{1 – x}{1 + x^3}\).
Montrer que \(f'(x) = \frac{g(x)}{(1 + x^3)^2}\) et en déduire les variations de \(f\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ \begin{cases} f(x) = \frac{\sin(ax)}{x} & \text{si } x < 0 \\ f(x) = x^2 + x + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \]

1. Déterminer une relation entre \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue en 0.
2. Déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit dérivable en 0.

On considère un rectangle inscrit dans un demi-cercle de rayon \(R = 5\). La base du rectangle est située sur le diamètre.

1. Soit \(x\) la demi-longueur du rectangle. Exprimer la hauteur \(h\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que l’aire du rectangle est \(A(x) = 2x\sqrt{25 – x^2}\).
3. Étudier les variations de la fonction \(A\) sur \([0, 5]\).
4. En déduire les dimensions du rectangle d’aire maximale.