Objectif : Identifier les contraintes (dénominateur nul, racine négative).

Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) pour chacune des fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 – 9}\)
2. \(g(x) = \sqrt{2x – 5}\)
3. \(h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 – 3x}\)
4. \(k(x) = \sqrt{x^2 – 4} + \frac{1}{|x| – 3}\)

Objectif : Vérifier si \(f(-x) = f(x)\) ou \(f(-x) = -f(x)\).

Étudier la parité des fonctions suivantes (après avoir précisé le domaine de définition) :

• \(f(x) = x^4 – 3x^2 + 1\)
• \(g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
• \(h(x) = \frac{|x|}{x}\)
• \(k(x) = x^2 + x\) (Ni paire ni impaire ?)

Objectif : Calculer \(T(x,y)\) et étudier son signe.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 4x\).

1. Montrer que pour tous réels distincts \(a\) et \(b\), le taux d’accroissement est \(T(a,b) = a + b – 4\).
2. Étudier le signe de \(T(a,b)\) sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\). En déduire les variations de \(f\).
3. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty ; 2]\).
4. Dresser le tableau de variations complet de \(f\).

Objectif : Démontrer l’existence d’un minimum ou maximum.

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}\).

1. Calculer \(g(0)\).
2. Calculer la différence \(g(x) – 3\).
3. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(g(x) \leq 3\).
4. En déduire que 3 est le maximum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Montrer que 2 est le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

Objectif : Étudier le signe de la différence \(f(x) – g(x)\).

Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x – 1\) définies sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f(x) – g(x)\).
2. Factoriser cette différence (identité remarquable).
3. Étudier le signe de \(f(x) – g(x)\).
4. En déduire la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\).

Objectif : Interpréter une courbe.

On donne la courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([-3 ; 3]\).

1. Dresser le tableau de variations de \(f\).
2. Déterminer le maximum de \(f\) et pour quelle valeur il est atteint.
3. Résoudre graphiquement \(f(x) \geq 0\).
4. La fonction semble-t-elle paire ou impaire ?

Objectif : Étude complète d’une fonction classique.

Soit \(f(x) = \frac{2x + 1}{x – 1}\).

1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que pour tout \(x \in D_f\), \(f(x) = 2 + \frac{3}{x – 1}\).
3. Étudier les variations de la fonction \(u : x \mapsto x – 1\), puis de \(v : x \mapsto \frac{1}{x-1}\), et enfin de \(f\). (Composition).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).

Objectif : Majorant, Minorant.

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).

1. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(h(x) > 0\).
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 + 1 \geq 1\), et en déduire que \(h(x) \leq 1\).
3. Conclure que \(h\) est bornée.

Objectif : Découverte.

On note \(E(x)\) la partie entière de \(x\), c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\).

1. Calculer \(E(2,7)\), \(E(5)\) et \(E(-1,2)\).
2. Tracer la représentation graphique de la fonction \(E\) sur l’intervalle \([-2 ; 3]\). (Fonction en escalier).
3. Résoudre l’équation \(E(x) = 2\).

Objectif : Utiliser les fonctions pour résoudre un problème géométrique.

Un fermier veut construire un enclos rectangulaire le long d’un mur (il ne met pas de clôture côté mur). Il dispose de 100 mètres de grillage.

1. Soit \(x\) la largeur de l’enclos. Exprimer la longueur en fonction de \(x\).
2. Montrer que l’aire de l’enclos est donnée par \(A(x) = -2x^2 + 100x\).
3. Pour quelle valeur de \(x\) l’aire est-elle maximale ? (Utiliser la forme canonique ou la symétrie de la parabole).