Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 2, -1)$, $B(2, 0, 1)$ et $C(0, 3, 1)$.

1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
2. En déduire la nature du triangle $ABC$ au sommet $A$.
3. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle.
4. Calculer la distance du point $O$ à la droite $(AB)$.

1. Déterminer l’équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A(1, 1, 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$.
2. On donne les points $E(1, 0, 2)$, $F(2, 1, 3)$ et $G(0, 2, 0)$. Montrer que $E, F, G$ ne sont pas alignés et déterminer l’équation du plan $(EFG)$.
3. Déterminer l’équation du plan $(Q)$ passant par $M(1, 2, 3)$ et parallèle au plan $(Oxz)$.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(2, -1, 4)$ et dirigée par $\vec{u}(1, 3, -2)$.
2. On considère la droite $(\Delta)$ définie par le système : \[ (\Delta) : \begin{cases} x – y + 2z – 1 = 0 \\ 2x + y – z + 3 = 0 \end{cases} \] Déterminer un vecteur directeur de $(\Delta)$ et un point appartenant à cette droite.
3. Étudier la position relative de $(D)$ et $(\Delta)$.

Soient les vecteurs $\vec{u}(1, 2, -1)$ et $\vec{v}(2, -1, 3)$.

1. Calculer le vecteur $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$.
2. Vérifier par le calcul que $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
3. On considère les points $A(1, 0, 1)$, $B(2, 2, 0)$ et $C(3, -1, 4)$.
   a) Calculer l’aire du triangle $ABC$.
   b) En déduire la distance du point $C$ à la droite $(AB)$.

On considère les points $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 0, 1)$ et $D(1, 1, 5)$.

1. Calculer l’aire de la base $ABC$.
2. Déterminer l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
4. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
   (Rappel : $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$).

1. Déterminer l’équation de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1, -2, 3)$ et de rayon $R=4$.
2. Déterminer l’équation de la sphère $(S’)$ de diamètre $[AB]$ avec $A(2, 1, -3)$ et $B(0, 3, 1)$.
3. Montrer que l’ensemble des points $M(x, y, z)$ vérifiant : \[ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0 \] est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Soit $(S)$ la sphère d’équation $x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0$.

1. Préciser le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$.
2. On considère le plan $(P)$ d’équation $x + 2y – 2z – 2 = 0$.
   Calculer la distance $d(\Omega, P)$. En déduire la position relative de $(P)$ et $(S)$.
3. Déterminer les caractéristiques de l’intersection (centre $H$ et rayon $r$).

On considère la sphère $(S)$ de centre $\Omega(0, 1, 1)$ et de rayon $\sqrt{3}$.

Soit $(P_m)$ le plan d’équation : $x + y + z + m = 0$ où $m \in \mathbb{R}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le plan $(P_m)$ est tangent à la sphère $(S)$.
2. Pour la plus petite valeur de $m$ trouvée, déterminer les coordonnées du point de contact.

On considère deux sphères :
$(S_1) : x^2 + y^2 + z^2 – 2x = 0$
$(S_2) : x^2 + y^2 + z^2 – 4y + 2 = 0$

1. Déterminer les centres et rayons respectifs.
2. Donner l’expression de la puissance d’un point $M(x, y, z)$ par rapport à $(S_1)$.
3. Déterminer l’équation du plan radical des deux sphères.
4. Montrer que ce plan est perpendiculaire à la droite des centres.

Soit $(S)$ la sphère d’centre $O(0,0,0)$ et de rayon $R=3$. On considère la droite $(D)$ passant par $A(4, 0, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(0, 1, 1)$.

1. Calculer la distance du point $O$ à la droite $(D)$ en utilisant le produit vectoriel.
2. La droite $(D)$ coupe-t-elle la sphère $(S)$ ?
3. Déterminer les points du plan $(Oxy)$ dont la distance à la droite $(D)$ est égale à $\sqrt{2}$.