Objectif : Calculer la limite du taux d’accroissement.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = x^2 – 3x\).

1. Calculer le taux d’accroissement \(T(x)\) de \(f\) en \(x_0 = 1\) : \[ \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} \]
2. Calculer la limite de ce taux quand \(x\) tend vers 1.
3. En déduire le nombre dérivé \(f'(1)\).
4. Interpréter graphiquement ce résultat (Tangente).

Objectif : Appliquer les formules de base.

Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) pour chacune des fonctions suivantes :

• \(f_1(x) = 5x^3 – 2x^2 + x – 7\)
• \(f_2(x) = \frac{1}{x} + x^4\)
• \(f_3(x) = \sqrt{x} – 3x\)
• \(f_4(x) = \sin(x) + 2\cos(x)\)

Objectif : Formules \((uv)’\) et \((\frac{u}{v})’\).

Calculer \(f'(x)\) en précisant le domaine de dérivabilité :

1. \(f(x) = (2x + 1)(x^2 – 3)\) (Utiliser la formule du produit).
2. \(g(x) = \frac{2x – 1}{x + 3}\) (Utiliser la formule du quotient).
3. \(h(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1}\).

Objectif : Formules \((u^n)’\) et \((\sqrt{u})’\).

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

• \(f(x) = (3x^2 – 5)^4\)
• \(g(x) = \sqrt{2x + 1}\)
• \(h(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3})\)
• \(k(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^3}\)

Objectif : Utiliser \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Soit \(f(x) = \frac{x}{x-1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Déterminer l’équation réduite de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(x_0 = 2\).
4. Existe-t-il un point où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = -x\) ? (Résoudre \(f'(x) = -1\)).

Objectif : Signe de la dérivée \(\implies\) Variations de la fonction.

Soit \(g(x) = x^3 – 3x^2 + 2\).

1. Calculer \(g'(x)\).
2. Étudier le signe de \(g'(x)\) (Polynôme du 2nd degré).
3. Dresser le tableau de variations complet de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Déterminer les extremums locaux de \(g\).

Objectif : Étudier la dérivabilité à gauche et à droite.

Soit \(f(x) = |x^2 – 1|\).

1. Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue selon les intervalles.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 1\).
   (Calculer la limite du taux d’accroissement à droite et à gauche).
3. La courbe admet-elle une tangente en 1 ? Que peut-on dire du point d’abscisse 1 ? (Point anguleux).

Objectif : Lien entre position, vitesse et accélération.

La position d’un mobile en mouvement rectiligne est donnée par l’équation horaire : \(x(t) = 2t^3 – 9t^2 + 12t\) (pour \(t \geq 0\)).

1. Déterminer l’expression de la vitesse instantanée \(v(t)\) (Dérivée de la position).
2. À quels instants la vitesse s’annule-t-elle ?
3. Déterminer l’expression de l’accélération \(a(t)\) (Dérivée de la vitesse).

Objectif : Trouver un extremum.

On veut construire une boîte sans couvercle à base carrée de volume \(V = 32 \text{ cm}^3\). On veut utiliser le minimum de matière.

Soit \(x\) le côté de la base et \(h\) la hauteur.

1. Exprimer \(h\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que la surface totale de la boîte est \(S(x) = x^2 + \frac{128}{x}\).
3. Étudier les variations de la fonction \(S\) sur \(]0 ; +\infty[\).
4. En déduire les dimensions \(x\) et \(h\) qui minimisent la surface.

Objectif : Étudier une fonction périodique.

Soit \(f(x) = \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x}\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Montrer que \(f'(x) = \frac{1 + \cos x + \sin x}{(1 + \cos x)^2}\).
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0 ; \pi]\).